教学实践阶段中直观教学的重要性

（一）学生存在的问题

第一，请你用自己的语言来描述平面。将学生的答案分成8类，具体情况如下表5-6所示。

表5-6　学生对于平面概念的理解

从以上结果可以看出，学生对平面的两个特性掌握还好，基本上都能说出平面是无限延伸的面，但对于性质类的回答较少。这表明，学生较少能够将平面的概念与三大公理联系起来，对于平面认识还不够深入，对平面的理解有待提高。

第二，对于命题：“空间中两条直线与第三条直线平行，则这两条直线平行。”你觉得需要证明吗？为什么？

回答需要占学生总数的25.93%，与在学习这部分内容之前的36.8%相比有所减少，说明学生在学习了这部分之后，对于此公理的理解变得更加倾向于不需要证明，学生对此性质的思考减少。因此，有必要在教学中提供新的维度，让学生对这一性质有更全面的理解，同时加深学生对数学严谨性的认识。

第三，关于命题“一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。”你是如何理解的？你想知道它的证明吗？

第四，关于命题“一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。”你是如何理解的？你想知道它的证明吗？

这两道题主要考查学生对线面垂直判定定理和面面平行判定定理的理解情况以及对证明的需要程度，由于两题回答的相似度较高，因此放在一起进行分析。

有76.5%的学生希望了解这两个判定定理的证明，说明学生对这两个判定定理的期待度很高。因此，有必要在教学中渗透这两个判定定理的定理，同时对于这两个判定定理的理解，学生的理解还是停留在表层上，基本上只是复述定理的内容，对于为什么是两条相交直线，主要原因认为是两条相交直线确定一个平面，由此可知，由于定理证明的缺失，学生缺少对这两个判定定理的深入理解，进一步说明了在教学中渗透定理证明的必要性。

（二）对设计的进一步改进

笔者进入中学之后，找教师A和教师B进一步了解中学的实际情况，对之前的教学设计进一步研讨，根据中学的实际情况对教学设计做出进一步的修改，下面从可学性和有效性两个角度对教学设计的研讨过程以及相应的修改进行描述。

1.可学性方面的改进

从可学性的角度出发，教师B提出学生在学习“立体几何”这部分知识之前，重要的认知基础是代数和高中平面几何的知识，因此在教学中要紧密结合学生关于平面几何的知识。同时，“立体几何”的内容与“平面几何”的差别在于：“立体几何”想象力和逻辑性的要求远远超过“平面几何”。由于高中生的脑中已习惯了高中的平面几何图形，对三维的立体图形不适应，没有空间想象力。在教学中要强调直观性原则，在已有的认知基础上，或用生动的描述，或让学生直接观察，进而使学生有全局的认识，为书本知识的正确理解奠定基础，同时发展其认知能力。具体而言，可以把立体几何教学中枯燥抽象概念和定理，以活动的形式比较直观地传授给学生。

整体而言，四节课的设计中，对于学生认知基础的考虑较少，不在学生的最近发展区，在教学中还要符合学生的接受规律，同时一些细节，如表达形式、记法等都还要注意。具体到每节课中，在“平面概念”这节课的“探究活动”中，要引导学生发现平面的三大公理，除了观察生活中的现象之外，还可以从平面类比，如公理1是对平面“平”的刻画，因此可以类比如何刻画直线的“直”来引出公理1，由两点确定直线引出公理2，由直线与直线相交引出公理3。在“空间直线与直线的位置关系”中重视学生之前对平面角以及平面中线线平行关系的认识。在“平面与平面平行的判定”中要重视学生从线面平行到面面平行的转化，强调只需要两条相交直线即可。在“线面垂直的判定”中重视直观教学的作用。

2.有效性方面的改进

从有效性的角度，教师A从任课教师的角度为笔者提供了学生的信息，并强调了每节课的重点和练习。

在“平面的概念”这节课中，要重点让学生学会三种语言的转化，同时要给学生练习的机会，因此笔者在最后的设计中加入了课堂练习和两道例题，旨在让学生学会应用公理。在“空间直线与直线的位置关系”中，教师A强调在刚学习“异面直线”这一概念后要给予学生一定的练习，因此笔者加入了例题和练习，并在公理4后添加了例题与练习。在“平面与平面的判定”中，教师A强调证明的书写，因此加入了让学生练习证明书写的环节并加入了练习化及证明方法的总结。在“线面垂直的判定”中，教师A强调对线面垂直定义的理解，需要加以练习，因此笔者加入了两个例题以及练习，并在最后选取了几种不同的情况，旨在让学生熟悉几何体中的线面垂直关系。

3.教学实践

（1）平面的概念

①教学目标

A.理解平面的概念，会用三种语言表示平面，表示点、线、面的关系，理解三大公理及其推论，并在简单情况下应用；B.经历平面概念与公理的产生过程，培养学生的抽象、观察归纳与类比猜想的能力；C.体验到数学是渐进的，体会“做数学”的感觉，感悟数学文化。

②史料选取与使用

A.古希腊时期的平面定义

早在公元前5世纪，古希腊哲学家巴门尼德就对平面概念做过刻画。据普罗克拉斯记载，巴门尼德将平面定义为：如果一个二维对象是直的表面，那么它就是一个平面，直线可在任意方向与之相合。在这里，巴门尼德将“直”作为平面的本质特征，并利用直线来刻画这一特性，其中强调平面是二维的，是没有厚度的。欧几里得并未沿用巴门尼德的定义，他将平面定义为：与其上直线一样平放着的面。在这里，欧几里得继续强调了用直线来刻画平面。但巴门尼德和欧几里得的定义中用到了“直”和“平放”这些比较模糊的概念，定义还不精确。古希腊数学家海伦给出了平面的新定义：平面是具有以下性质的面，它向四周无限延伸，平面上的直线都与之相合，且若一条直线上有两点与之相合，则整条直线在任意位置与之相合。在这里，海伦结合了直线及直线上的点来刻画平面的“平”，并强调了平面的无限延伸性，平面的定义开始精确化。

B.平面的包含式与构造性定义

18世纪，英国数学家辛松给出了平面的新定义：平面是具有下列性质的面，通过其上任意两点的直线完全包含在该面上。辛松的定义实际上基本沿用了海伦的说法，不过叙述更加简练和精确，此定义与现在的公理也有一定的联系，由于应用了“直线包含于平面”这一概念，我们称之为平面的包含式定文。同时这一定义也被18、19世纪的几何教科书所普遍采用，如18世纪法国数学家勒让德在其《几何与三角学基础》和苏格兰数学家普雷菲尔在《几何学基础》都采用此定义。

与此同时，为了解决平面构造的问题，数学家也给出了一系列平面的构造性定义。德国数学家克雷尔给出平面的静态构造性定义：平面是包含所有通过空间中一个定点并与另一条直线垂直的直线的面。法国数学家傅立叶给出了类似的定义：平面由经过直线上一点且与直线垂直的所有直线构成。德国数学家莱布尼兹给出了平面的另一个构造性定义：平面是与两点等距离的点的集合。匈牙利数学家W·波尔约则采用动态的构造性定义：平面是由一条直线绕着另一条与之垂直的直线旋转而成的面。需要注意的是，动态构造定义与静态构造性本质上是相同的。

C.平面的公理化定义

19世纪末，意大利数学家皮亚诺创立数学学派，对算术和几何的公理化做出了巨大贡献，其中的一名重要成员——意大利数学家皮埃里，利用点、线段和运动对几何进行公理化。在此之后，希尔伯特在其《几何基础》中建立了完全公理化的欧氏几何。希尔伯特可能受到当时数学抽象化和公理化趋势的影响，并未对平面做出定义，而将其作为一个基本的概念，像点和直线一样。公理决定了基本概念之间的联系，概念的意义只有在公理中得到体现，因此，公理就起到了定义的作用。希尔伯特的公理被大部分数学家所接受，同时也被数学教育界所接受，大多数教科书也因此深受影响。现在教科书中平面的三大公理即由此而来。

②教学实施

A.复习旧知，引出主题

首先让学生回顾之前学过的一些基本的空间几何体，如正方体、棱柱和棱锥，接着让他们观察其中都有哪些基本元素，引出点、直线和平面。

教师指出：为了更好地研究立体几何，我们需要对这些元素进行研究。

引导学生思考：这三种元素中有哪些关系？引出本章的学习内容——线线关系、线面关系、面面关系。

进而提问：这三个基本元素中，我们相对比较陌生的是哪一个呢？由此引入本节课的学习主题——平面。

B.自主探究，概念生成

接下来抛出以下两个问题。

a.对于平面我们既熟悉又陌生，那么在你的心目中什么是平面？

b.怎么画一个平面？

让学生三人一组互相讨论，把自己的答案写在小纸条上，3分钟后，教师选取几张典型的答案进行展示。

典型答案1：这张纸就是一个平面。

师：这位同学说得好不好？

生：好。

师：其实在我们的日常生活就有着很多平面的原型，除了纸面你们还能想到什么？

生：桌面、黑板面、吃的面（笑）。

师：早上吃的面不是，还有很多哦，老师这边也展示一下（图5-11），平静的湖面、河面、镜面、桌面，同学们说过了，墙面也是，但有些墙面不一定是哦。

图5-11

典型答案2：平面是二维的。

学生惊叹。

师：我们看第一个，重点是哪一个？

生：二维的。

师：二维的，所以它是没有……

生：没有厚度的、没有高。

师：所以这是平面很重要的一个特性，没有厚度。实际上这位同学非常了不起，他与古希腊的哲学家巴门尼德对平面的认识类似，巴门尼德就将平面定义为一个二维对象，它是直的表面。

典型答案3：一张无限大的白纸。

师：一张无限大的白纸，无限大，厉不厉害？

生：厉害！

师：他注意到了哪一点？

生：无限延伸。

师：所以平面是不是就这么一块？

生：不是。

师：它其实和直线一样是无限延伸的，我们又注意到平面的一个重要性质，无限延伸性。实际上，这与古希腊数学家海伦的定义相同，他就将平面看作一个向四周无限延伸的面。数学上的平面和我们生活中的平面有所不同，前者经过了数学抽象，就像刚才同学们注意到的，我们得到了平面的两个重要特性，一个是没有厚度，另一个是无限延伸。

典型答案4：一条直线平行移动或绕一个点旋转形成一个平面。

师：同学们觉得可以吗？

生：好像可以。

师：部分同学的这个想法非常好，不过平移或旋转的方式还要再说明白一点。直线平移或直线绕一点旋转，是一种构造平面的方式。历史上也有数学家给出过类似的构造，如匈牙利数学家波尔约就将平面定义为：一条直线绕着另一条与之垂直的直线旋转而成的面。可见，这些同学离数学家只有一步之遥啊！

典型答案5：无数条直线平行紧靠在一起，构成一个面。

师：这个想法可以吗？

生：可以，但要在一个平面上。

师：对，要在一个平面上，古希腊哲学家巴门尼德也说过，平面上的直线在任意位置与之相合。大家可能都知道古希腊数学家欧几里得。他在《几何原本》中给出的定义就是用直线来刻画一个平面，他说与其上直线平放的面，和刚刚的同学有点类似。如果再深入地想一下就可以得到这些概念。

C.设计符号，表示平面

接下来看第二个问题，怎么画一个平面？

教师展示同学的答案。

典型答案1：心形、长方形、圆、三角形、平行四边形、梯形、五角星。

学生惊叹。

师：这位同学非常厉害，平面在他心中有无限的可能，有哪些呢？

生：心形、长方形、圆、三角形、平行四边形、梯形，还有五角星。

师：五角星也是，你们最喜欢哪一种？

生：五角星和心形。

典型答案2：正方形、平行四边形。

师：又是平行四边形。

生：老师，他画的是直观图。

师：直观图！很好，那说明，我们画平行四边形是因为它是我们之前学过的直观图，所以我们同学大多数画的平面都是平行四边形。我就不一一展示了，所以数学中平面的表示，就是用我们同学们最熟悉的平行四边形来表示，而且它的锐角经常画成四十五度，且斜边等于底边长的两倍，这里我们要记住，这只是平面的表示，我们刚刚说到平面其实是无限延伸的，所以我们画在纸上不可能都画出来，没有无限大的白纸，所以我们用最熟悉的平行四边形来表示。

D.刻画平面，引出性质

引导学生发现平面最重要的性质——平，还没有进行精确的刻画，接下来让学生回想高中用两点确定一条直线来刻画直线的直，我们可以看到，数学家非常聪明，用比直线更基本的元素点来刻画直线，刚刚同学们也有说到要用直线来定义平面，所以对于平面我们可以用比平面更基本的元素“直线”来刻画平面的“平”。

我们怎么用直线来刻画平面的平呢？可从观察下面这个表格（表5-7），直线和平面平行、相交和在平面上时，交点是多少个？

表5-7　交点个数

交点分别是0、1和无数个，从而引出性质1：一条直线上只要有两个点在平面上，那么这条直线就在平面上。同时说明，这是对平面“平”的性质的刻画。

生活中有这样一个例子，假设有一根绳子，我们把它拉直，然后将绳子的两端靠在墙壁上，如果绳子可以完全靠在墙壁上，就说明了这个墙壁是平的。这就用到了我们即刚得到的性质1。

刚才说到，历史上很多数学家都对平面做过描述，对平面“平”的描述也包含在其中。例如，英国数学家辛松（如图5-12）将“经过平面上两点的直线完全包含在平面内”作为平面的定义。实际上，18、19世纪的西方数学家普遍采用了这一定义。

图5-12

接下来，类似于“两点确定一条直线”，得到性质2：不在同一直线上的三点确定一个平面。之后给出等价的三个推论，并利用生活中的凳子来说明。

接着类似于“两条直线相交有一个交点”引出性质3：两个平面有一个公共点，则两个平面相交，并且有且仅有一条交线。这是两个平面相交的性质。在得出性质的同时让学生熟悉符号语言和图形语言。

教师总结：我们已经得到了平面的两个特性和三条性质，之前也给出了很多数学家的定义，那么平面概念到底是什么呢？经过不断研究发现，平面也和集合一样是原始概念。所以，德国数学家希尔伯特在其《几何基础》中就将平面作为不加定义的概念，用刚刚得出的三个性质作为三个公理来描述平面（如图5-13）。这就是我们现在教科书中对于平面的描述。

图5-13

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

公理2：过不在一条直线上的互点，有且只有一个平面。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

E.练习巩固，牛刀小试

第一，利用以下辨析练习，巩固刚刚得到的平面概念与公理。

a.三点确定一个平面；

b.经过同一点的S条直线确定一个平面；

c.两个平面有三个不在同一直线上的公共点，则两个平面重合；

d.两两相交的两条直线共面。

教师强调：公理中的某些条件是不可或缺的。

第二，通过练习，学生进一步熟悉了有关符号语言和图形语言，并对不同语言进行转化。

a.点A在平面内，但点B在平面外；

b.直线a经过平面外的一点M；

c.直线a在平面内，也叫平面过直线。

这一练习让学生自己在课本上写出，并进行核对，巩固三种语言的转化。

F.总结提升，知识升华

教师总结本节课的知识要点，点、线、面的位置关系，文字语言、图形语言、符号语言之间的转换。平面的概念，两个特性，三个公理及其运用及平面的表示。

师：这节课中我们认识到平面的抽象性，以及从直线到平面的类比思想。

教师总结：平面概念经历了漫长的发展历程，很多数学家都做出了贡献，同学们的认识和这些数学家是类似的，你们都是小小数学家。

2.空间中直线与直线的关系

①教学目标

A.理解公理4；B.理解并证明等角定理；C.体会转化与化归的思想，推广、证明的价值；D.体会数学是一种文化活动，数学是人做的，有不同的数学家共同对数学的发展做出贡献；E.在活动中培养学生做数学的热情，自己也能成为数学家。

②史料选取与使用

A.欧几里得与《几何原本》

据古希腊哲学家普罗克洛斯记载，欧几里得是古希腊伟大的数学家，他编著了伟大的数学著作《几何原本》，在《几何原本》中他梳理了欧多克斯的许多定理，完善了西厄蒂特斯的许多定理，对前人所建立的命题进行了无可辩驳的证明。他生活在托勒密一世时代。据载，托勒密有一次问欧几里得，学习几何是否有《原本》之外的其他捷径，欧几里得回答说“：几何无王者之道。”

B.历史上空间平行线传递性定理的证明

欧几里得的证明、三垂线法、同一法、线面相交法、垂面法以及错误的证明。

C.历史上等角定理的证明

欧几里得在《几何原本》中的证明。

采用附加式介绍欧几里得与《几何原本》的故事，以及历史各种空间平行线传递性定理的证明，采用顺应式让学生解决等角定理的证明。

③教学实施

A.复习旧知，引出课题

首先回顾上节课所学习的知识，复习上节课学习前平面的两个特性：无限延伸性和没有厚度，三条公理以及公理2的3个推论，指出公理1是对平面“平”的刻画、公理2是确定一个平面的依据，公理3是确定两个平面交线的依据。然后，说明公理与定理的区别，公理是不证自明的，其他公理都需要它来推出。

有了平面的概念以及三个公理作为基础之后，就可以学习这一章的主要内容：点、线、面之间的关系，回顾上节课学习的三个基本要素以及之间的基本关系，今天这节课就来研究最基本的关系：线线关系，从而引出课题。

B.初步感知，建构概念

师：回顾一下，在平面中线线关系有哪些？

生：有平行和相交。

教师拓展到空间中，让学生观察图5-14中的正方体，寻找其中出现的新关系。

图5-14

学生找到其中的两条直线既不是相交也不平行，从而引出新的位置关系：异面直线。其实生活中的异面直线有很多，如图5-15中的立交桥与船和飞机的航行轨迹。

图5-15

师：如果让你画一条异面直线，你会怎么画？

教师请一个学生上台画异面直线。

教师鼓励这位学生先画了平面，而不是直接画两条异面直线，接着教师演示两种规范的异面直线的画法（如图5-16）。

图5-16

在直观感受之后，教师让学生尝试给出异面直线的定义，学生的普遍回答为：不在同一个平面上的两条直线。

教师让学生思考，这样的定义是否严谨，通过一些反例的演示，学生发现必须要加上“任意”二字，从而引出异面直线的定义为：

异面直线：不在任意一个平面中的两条直线。

教师可趁机向学生辨析“任意”二字不能改成“无限”。

C.推广夹角，引出定理

教师用教具摆出不同位置的两条异面直线。

师：这两种异面直线有什么不同？

生：一种比另一种感觉更斜一点。

教师引导学生回顾在平面角中如何表示两种不同的倾斜状态，学生想到用夹角来刻画。从而引出异面直线所成角的概念。课堂对话如下：

师：在平面当中，这样的不同是什么不一样？

生：夹角不一样。

师：所以空间中的异面直线，是不是也有夹角的概念？其实我们在建造立交桥的时候，也要考虑立交桥不同的角度，那我们来思考一下怎么定义异面直线所成的角呢？

生：……

师：异面直线所成的角是一个比较新的概念，那我们能不能转化为我们之前熟悉的概念来研究呢？

生：平面的角。

师：我们想一下能不能把立体的角转化为平面角？

生：平移。

师：对，我们可以把一条线平移过去，是不是就变成平面角了？所以我们可以用平移过去的平面角来定义它所成的角，数学家都是这样，把一个不熟悉的东西转化为熟悉的东西。

接着给出异面直线所成角的精确定义：

异面直线所成的角：在空间中任取点O，则过点O作和异面直线a和b平行的直线a'和b'，a'和b'所成的角称为异面直线所成的角，并规定了角度的范围为0°到90°，左开右闭。

接着教师指出，这实际上是对平面中夹角概念的推广。让学生思考这一定义中，由于点O是任取的，是否对于所成角的角度有影响，如果角度有影响，则这一定义不合理，需要以下性质：

等角定理：在空间中，两条直线a'，b'分别与另外两条直线a，b平行，则a和b所成的夹角与a'和b'所成的夹角相同。

师：我们之前在平面中学习了这一定理，在空间中是否成立呢？（据此引出等角定理）

学生思考之后，希望给出证明，于是教师给出图5-17让学生探索证明方法。

图5-17

在一定探索之后，让学生回答他的想法，师生对话如下：

师：如何证明呢？

生：AC和DF构成一个平面，然后AD//CF。

师：这个你怎么知道的？

生：好像不知道。

师：但我们刚刚知道AC平行等于DF的，所以知道什么？

生：构成平行四边形。

师：所以就得到了刚刚想得到的，AD平行等于DE。

生：类似的我们知道BE平行等于CF，所以知道AD平行等于BE，所以等于DE。

师：为什么？

生：因为ABED是平行四边形，因此AB等于DE。

师：好，我们就可以得到全等从而得到证明。

师：其实这就是欧几里得的证明，学生表现得非常棒！

D.产生疑问，得到公理

教师引导学生回顾刚刚的证明，发现其中用到了一个性质：在空间中，两条直线和同一条直线平行，那这两条直线就平行。

师：这一性质我们在平面几何中学过，现在是否还正确呢？

学生产生了争论，对话如下：

师：这个定理我们直线在平面中有没有用过？

生：用过的。

师：那我们到空间当中是否还成立？我们请同学说一下，为什么觉得它还成立的？我们来调查一下，觉得它成立的举手，你说说为什么觉得成立。

生：我们可以把它自然的推广到空间当中。

师：那不成立的，请说说你们的看法。

生：怎么证明能自然地推广到空间当中？

师：那你觉得应该怎么样？怎么才能让你信服？

生：证明一下。

先让学生尝试证明，学生发现有难度，于是引出下一环节。

E.视频观赏，历史重现

师：此性质被称为空间平行线的传递性质，其实历史上对于此性质的证明层出不穷。让我们穿越历史长河一起观赏一下。

首先讲解欧几里得与《几何原本》，接着重点突出托勒密与欧几里得关于几何学习的谈话，说明几何无“王者之道”。然后，大概讲解欧几里得的证明以及历史上数学家普莱费尔（Playfair）、勒让德（Legendre）、汤普森（Thompson）、菲利普斯（Phillips）和费希尔（Fisher）对这一定理的证明。再次，讲解历史上出现过的两个错误证明，最后对这段历史给我们的启示进行了总结，并鼓励学生继续探索新的证明。

这一定理现在作为公理出现，即

公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行。

F.巩固练习，强化概念

带领学生完成两个练习。

练习1：已知正方体AC1（如图5-18左）。

（1）直线及BA1和CC1的夹角是多少？

（2）哪些棱所在的直线与直线AA1垂直？

通过这道练习题将平面中的垂直关系推广到空间中。

练习2空间四边形ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点，若CD=4，AB=2，EF⊥AB，则EF和CD的夹角是多少？（如图5-18右）

通过这一练习，让学生进一步了解空间四边形，是平面四边形的推广。

图5-18

G.提取线索，总结提升

教师对整节课做出总结，抓住本节课的逻辑主线，从异面直线的定义开始，强调定义中的“任意”二字，接着研究异面直线所成的角，为了保证定义的合理化引出等角定理，等角定理的证明引出了公理4。

师：其实整节课其实都是在推广，从平面推广到了空间，也学习到了公理4中数学文化的元素，数学是人做的，其实在座的每位同学也在做数学！

3.平面与平面平行的判定(www.xing528.com)

①教学目标

A.理解面面平行判定定理并会证明。B.体会化归与转化的思想，经历证明过程，体会不同的证明方法。C.体会数学是一种文化活动，数学是发展的。E.在活动中培养学生做数学的热情，自己也能成为数学家。

②史料选取与使用

A.勒让德与几何教学

勒让德是18世纪法国伟大的数学家，约1770年毕业于马扎兰学院。1775年任巴黎军事学院数学教授。1782年以《关于阻尼介质中的弹道研究》获柏林科学院奖金，次年当选为巴黎科学院院士。1787年，成为伦敦皇家学会会员。勒让德的主要研究领域是分析学（尤其是椭圆积分理论），数论、初等几何和天体力学。其中，在初等几何方面的贡献是出版了《几何原理》，这本著作在其后的100年里引领了这一领域的研究，这一作品被誉为：“将欧几里得《几何原本》中的很多定理进行了重新排列和简化，从而勒让德的《几何原理》替代《几何原本》成为广泛流行与欧洲的教科书，在美国也成为其后续几何教科书的原型。”在“立体几何”方面，勒让德改进并简化了欧几里得很多的证明。

B.历史上面面平行判定定理的证明方法

历史上面面平行判定定理的证明层出不穷，本节课选取的证明有欧几里得的证明以及勒让德的等距法。本节课采用的数学史应用方式是附加式和顺应式，附加式为介绍勒让德的事迹，并简单介绍欧几里得的证明，顺应式为勒让德的等距法，启发学生得出其证明。

③教学实施

A.生活背景，引入概念

首先，教师带领学生对之前学习的知识进行复习，回顾学生之前学习的线面平行判定定理及其证明。

图5-19

如图5-19所示，让学生找到我们最熟悉的教室中的平行关系，如日光灯管和日光灯管之间就是线线平行的关系，日光灯管和地面之间就是线面平行的关系。

师：天花板和地面之间是什么关系？

生：面面平行的关系。

师：这三种平行的关系是相互联系的，今天，我们重点研究面面平行的关系。

教师给出两个平行的平面，让学生给出面面平行的定义，学生刚开始没有思路，接着教师提醒学生回想之前线线平行和线面平行的定义，经过一定的回忆，学生给出面面平行的定义。

面面平行：两个平面之间没有公共点。

B.探究概念，得到判定

师：我们是否可以通过没有公共点来判定两个平面是否平行？

学生在经过讨论以后发现不可能，因为平面具有无限延伸性，我们无法验证是否在所有地方都没有公共点。

师：我们再来回忆一下线面平行的判定定理，想想怎么找到更好的方式去判断两个平面是否平行？

师生具体对话如下：

师：根据这个定义，我们很难知道是不是在无限延伸的地方是不是有公共点的，那我怎么更好地判断两个平面是不是平行的呢？让我们回顾一下线面平行的判定定理，用线和平面之间有没有公共点，也很难判断，因此可以转化为什么？

生：一条直线和平面内一条直线平行。

师：所以这是把线面转化为线线，那我们受这个启发，我们可以把面面转化为？

生：线线或者线面。

师：这就是我们立体几何中常用的一个思想，就是降维的思想，我们把空间中的一个东西转化到平面上，是不是也很常见？所以现在我们想把面面转化为线面或者线线，我们来探究一下怎么进行转化（如图5-20），首先是面面平行，我们知道它的定义，两个平面没有公共点，我们看一个方向，怎么转化到线面？

图5-20

生：平面中的任意一条直线和平面平行。

师：我们来演示一下，看这条直线和黑板的关系都是怎么样的？

生：平行。

师：我们再换一条，任意一条都是平行的，假如说任意一条都是平行的，那就是和平面？

生：平行的。

师：对，所以就是没有公共点的，所以我们就转化到平面中任意一条直线都和平面平行，这个平面就和另一个平面平行，这个和原来的定义是等价的。我们再看另一个方向，怎么转化为线线平行？假设一个平面有一条线，那我们在另一个平面上会怎么样？

生：会找到另一条直线和它平行。

师：假如说任取一条直线，是不是都可以找到一条直线和它平行？

生：是的。

师：所以我们就可以转化为这个条件，任取一条直线都可以与另一个平面上的某一条直线平行，那这两个条件有没有什么联系？

生：有。

师：这两个条件可以互相转化吗？

生：可以。

师：假如我们从这边转化到这边。

生：可以用前面学过的线面平行的判定定理。

经过这样的探究之后，将两个平面没有公共点转化到了平面中任意一条直线与平面平行。

师：任意一条我们是否可以继续简化，最后得到两条相交的直线平行于另一个平面即可，从而得到。

面面平行的判定定理：一个平面内两条相交直线都平行于另一个平面，则两个面互相平行。

接着练习用三种语言来描述这一判定定理。

C.设置疑问，探究证明

师：刚刚通过一定的猜想和直观感觉得到了这一判定定理，那么在数学中怎么最后验证这一判定定理呢？还需要经过证明，怎么进行证明呢？我们可进入历史的长河寻找证明的方法。欧几里得在《几何原本》中首先给出了证明，但这一证明由于用到了后面的知识，这里不加介绍，那么历史上是否还有其他的证明？

引出勒让德，师生对话如下：

师：那么欧几里得证明过了，其他人还要证明吗？

生：要。

师：刚刚说过很多数学家不满足一个证明，他们需要很多不同的证明，《几何原本》中的证明要用到后面的知识，所以这节课就不多加介绍，我们还有什么办法呢？同学们感觉这个人怎么样？（展示图5-21）

图5-21

生：帅（笑）。

师：这是谁呢？

生：勒让德。

师：你们有没有人名字里带德的？

生：没有。

师：勒让德是法国的数学家，他对数学也做了很大的贡献，他改进了欧几里得《几何原本》中的很多证明，进行了简化，现在我们看一下视频，勒让德是怎么进行证明的？

接着展示视频（如图5-22），需要首先证明以下两个命题：

命题1：第二个平面与两个平面相交，则交线平行。

命题2：若两条平行线被两个平行平面所截，则所截得的线段相等。

图5-22

接着证明第三个命题：

命题3：一个平面上的两条相交直线与另一个平面平行，则两个平面平行。

其中命题1用了反证法，命题3用到了数学构造的方法，在给出了辅助图形之后，让学生自己探究证明的方法，最后教师进行综合，介绍这就是勒让德给出的等距法，学生都表示十分精妙。

D.练习巩固，应用定理

教师带领学生进行巩固训练。

练习1：正方体中，求证：平面AB1D1//平面C1BD（图5-23上）。

练习2：四棱锥P-ABC，底面为平行四边形，E、F、G都是中点，证明：面GDF//面PEB（图5-23中）。

练习3：三棱锥P-ABC、D、E分别是棱PA、PB中点，在PC上找一点F，使平面DEF//平面ABC（图5-23下）。

图5-23

通过这三道题目，让学生巩固刚刚学习的面面平行的判定定理，并总结出证明两个平面平行的一般步骤为：在平面内找出一条直线与另一个平面平行，再找出一条相交直线与另一个平面平行，最后利用判定定理得出结论。同时，让学生规范书写证明的过程。

E.总结提升，留下思考

教师总结：首先我们学习了面面平行的判定定理并学会了证明，然后学习了降维转化的思想，接着我们还学到了两个人和一本书，分别是欧几里得、勒让德和《几何原本》。

在本节课将要结束之际，教师提问学生：在一开始我们说到教室的天花板和地面是平行的，我们如何证明它们是平行的呢？在学完这节课后，你能想到哪些方法？大家可以课后思考一下。

4.直线与平面垂直的判定

①教学目标

A.理解线面垂直的定义以及线面垂直判定定理并会证明。B.体会转化、构造的思想。C.经历证明过程，体会不同证明方法背后不同的思想。D.感受数学背后多元的文化元素，自己也是小小数学家，培养数学自信。

②史料选取与使用

A.历史上线面垂直判定定理的证明方法

法国数学家克莱罗在《几何基础》中对线面垂直判定定理直观的解释、《几何原本》中的证明、勒让德的证明方法、对称法。

B.九章算术中的立体几何

《九章算术》第五卷商功处理工程的体积问题，其中提到了有堑堵、阳马和鳖臑体积的计算。如图5-24所示，堑堵是两底面为直角三角形的棱柱，阳马是底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体，鳖臑是四个面均为直角三角形的三棱锥。三者之间存在着一定的关系，将一个正方体斜着剖开，就得到两个堑堵。将一个堑堵斜着剖开，其中一个是阳马，一个是鳖臑，阳马占2，鳖臑占1，这个比例永远不变，这就是中国古代的阳马术，也叫作刘徽原理。值得注意的是，2015年，湖北的高考题中出现了鳖臑、阳马这两个古词，称为热门话题。

图5-24　堑堵、阳马、鳖臑

基于上述历史材料，本节课采用附加式、顺应式将数学史融入数学教学，附加式为介绍克莱罗等数学家、介绍中国古代的数学成就，顺应式是将历史上的证明方法进行改变，将学生的证明方法与历史上的方法进行对应。

③教学实施

A.生活引入，建构概念

师：我们之前学习了哪些关系？

生：平行关系。

师：有哪些平行关系？

生：线线平行、线面平行和面面平行。

教师引导学生找到其在教室中的原型，学生找到灯管和灯管之间、日光灯管和地面之间和天花板和地面之间都是平行的关系。

师：侧面两个墙壁相交的缝和地面是什么关系？

据此引出线面垂直的关系。

接着，教师展示生活中的线面垂直关系。

师：大桥立柱和桥面之间、天安门广场的旗杆与地面之间、古诗名句“大漠孤烟直”中都蕴含了线面垂直的关系，甚至我们最熟悉的学校操场上的旗杆与地面之间也是线面垂直的关系。

师：虽然我们生活中有很多线面垂直的关系，但我们还要从数学上对其进行研究，线面垂直的定义是什么？线面垂直的性质是什么？怎么判定线面垂直？都是我们需要研究的问题，首先，我们从线面垂直的定义开始。

引出问题：线面垂直的定义什么？

对于这个问题，学生一开始有点难以打开思路，教师展示图5-25，师生对话如下：

图5-25

师：其实数学中很多定义都是从生活中来的，让我们看看生活中的线面垂直（见图5-26）。

生：这是什么？

师：假设在一个阳光明媚的午后，我们看到一根柱子和它的影子，那么假设它和地面是垂直的话，我们发现它在地面上的影子和它是什么关系？

生：垂直。

师：垂直关系，但这是一个特殊的时间点，我们把它放在几何画板中，假如说这个太阳不停地变化，我们看影子也会随之？

生：变化。

师：那我们假设在任意时刻，任意取一个时刻，这个影子和旗杆都是？

生：垂直的。

师：根据这个启示，我们发现如果旗杆和地面垂直的话，那实际就是它和平面上的？

生：任意一条直线都垂直。

师：其实我们可以这样定义线面垂直：如果一条直线和一个平面内任意一条直线都垂直，则这条直线和平面垂直。

给出以上线面垂直的定义之后，教师提醒学生其中用到了降维的思想，并且提醒学生，如果将任意改成无数的话，定义是不成立的，并给出反例。接下来通过一个练习引出下两个性质。

性质1：一条直线垂直于平面，则与平面上的任意一条直线垂直。

性质2：一条直线垂直于平面，则与这条直线平行的直线也与平面垂直。

B.实际出发，引出判定

从生活实际出发，引出判定定理，师生对话如下：

师：怎么判定一条直线和平面是垂直的呢？我们可以用定义，但我们发现定义中是一条直线和任意一条直线垂直，任意是不是就是代表平面上的所有直线啊，所以有很多很多条，我们要验证垂直的话要看这么多条直线是不是很麻烦啊？而且在日常生活中，是不现实也是不必要的。那让我们看看日常生活中是怎么检验一条直线和平面是垂直的呢？

图5-26

师：我们看地铁的把杆和地面是垂直的（如图5-26左），那我们只要在它的下面放两根棒子和它垂直，就可以保证它和地面垂直了，而且这两根棒子是相交的。这个是一个简易木架，中间的柱子也是和地面垂直的，同样我们只要在下面放两根相交的木条就可以了。我们再看第二个例子（如图5-26右），木工师傅在检验一根柱子是否和地面垂直的时候，他是怎么进行验证的呢？这边正好上完技术课，我们找到一根棒子，假如它钉在地面上，木工师傅只要用一个三角板样子的仪器，量一量它和地面的这根线是垂直的，再换个位置量一量，只要两次都检验出来是垂直的，那我们就可以验证它是？

生：垂直的。

师：所以要验证一条直线和平面垂直，我们不用验证所有的直线，根据这些启示，我们可以提出什么猜想呢？

生：一条直线只要和平面上两条相交直线都垂直，那么这条直线就和平面垂直。

师：对，我们得到了这个猜想，如果一条线可不可以？

生：不可以，和刚刚的一样。

师：两条线呢？

生：也不行，如果是平行的就不行。

师：对，所以两条相交的感觉可以。

从而得到线面平行判定定理，用三种语言进行表示之后，教师说明这时候只是猜想，需要加以验证。

C.动手操作，确认定理

师：其实我们可以动手操作一下来验证这一猜想，老师课前已经发给每个同学一张矩形的小纸片，同学们可以自己折叠一下，看看怎么样可以让折痕和桌面是垂直的。

学生活动。

师：好，我看到很多同学都已经折出来了，我们找一个同学上台来展示一下，他是怎么折的？（学生上台，自发有学生鼓掌）

师：好，我们看到这位同学的小纸片立在了桌子上，它的折痕是不是和桌面垂直呢？

生：垂直的。

师：为什么是垂直的呢？你们能说说依据吗？

生：因为是矩形？

师：我们可不可以用刚刚学到的猜想来说明呢？

生：可以。

师：怎么说明？

生：因为它和底上的两条直线都是垂直的，所以它就和桌面垂直，这就给出了线面垂直判定定理的解释！（欣喜）

师：对的，同学们很厉害，这其实也是历史上数学家给出的解释（如图5-27）。

图5-27　克莱罗与他的直观解释

生：欧几里得！阿基米德！

师：这个世界上只有欧几里得一个数学家吗（笑）？其实还有很多的数学家，这是法国数学家克莱罗在他的著作《几何基础》中提到的，同学们的思路和他一样，所以你们也有成为数学家的潜质哦！

D.尝试探究，给出证明

师：在数学中，证明是必不可少的，要验证一个猜想是否正确，最后要依靠证明来检验，体现了数学的严谨性，那么这个定理到底怎么进行证明呢？

接下来教师用几何画板进行演示。

图5-28　线面垂直证明过程（1）

第一步：平移到同一交点

如上图5-28左所示，首先我们已知l是垂直于a和b的，要证明l和该平面垂直，这里我们看到a、b和l没什么联系，要进行证明的话该怎么办呢？学生想到把l，a，b移到同一个点上（如图5-29右）。

第二步：在交点上添加一条任意的直线

回想线面垂直的定义，直线要与平面上任意一条直线垂直，引导学生想到需要添加一条任意的直线c（如图5-29），而这条直线c也最好在O点处，从而演变成以下命题：已知AO⊥OB，AO⊥OC，求证AO⊥OD。

图5-29　线面垂直证明过程（2）

第三步：找到证明垂直的思路

接下来提问同学要证明两条直线垂直，用过哪些方法？学生回答有勾股定理、相似、全等还有三线合一，教师说明，三线合一的话也就是在等腰三角形中，只要证明是中线，即可知道它与底边垂直。从而给出两条思路：

思路1：利用勾股定理

思路2：利用三线合一

接下来让学生小组进行探究。

第四步：通过分析，获得证明

在提示之下，发现学生已经有了一些思路，但还存在一定困难，于是让一位学生上台展示他的思路，师生对话如下：

图5-30　对称法结构

师：好，我看到同学们似乎都有点不知所措，没什么思路，我们请这位同学给我们展示一下，怎么添加辅助线呢？

生：我做了D的对称，B的对称和C的对称。（如图5-30）

师：我们可不可以让这三点都在同一直线上呢？

生：可以。

师：可以的，因为我们做的都是对称，那接下来我们要证明什么呢？

生：证明AD等于AD'。

师：好，根据这些辅助线，同学们再想想怎么进行证明呢？

生：△ADB=ADB'。

师：好，就是这两个三角形（如图5-30），要证明这两个三角形全等，我们已经知道了什么条件？

生：AB=AB'。

师：还有呢？

生：BD=B'D'

师：这个是不是利用下面的对称很好证明？（如图5-30）

生：是的。

师：好，现在我们还缺什么？两边夹一角，还缺一个角，那我们怎么证明这两个角相等呢？也可以利用全等三角形，这次我们放在哪两个三角形中，我们还有一个条件没有用。看一下这个条件和角直线有什么关系呢？

生：可以证明上面两个大三角形全等。

师：对，这两个大三角形为什么全等（如图5-30）

生：三条边都可以证明是全等的，所以根据SSS。

师：所以我们证明了角相等，就完成了证明。

教师加了另一条辅助线也可以证明（图5-31上），思路相同，学生很快回答了出来证明的方法。接着教师演示了勾股定理的证明方法（图5-31下）。

图5-31　另一种对称法与代数法

接着教师介绍了这三种方法的历史背景，分别是欧几里得、勒让德等数学家的证明方法，鼓励学生也具有成为大数学家的潜质。然后对线面垂直判定定理做了复述。

E.练习巩固，品味文化

接下来用例1和例2让学生练习这一定理，如图5-32所示。

例1：已知ABC中，ABC=90°，SA⊥面ABC，AD⊥SC于D，求证BC⊥面SAC。

例2：四棱锥的底面是菱形，PD⊥底面，点E是棱PB的中点。

证（1）PD//面AEC；（2）BD⊥面AEC。

图5-32

在学生做完题目之后，教师对这两幅图做了介绍，师生对话如下：

师：其实这边我们用了两个特殊的立体图形。（如图5-32上）第一个是底面是矩形，棱和底面垂直的图形，这在中国的古代，刘徵在《九章算术》中把它称为阳马，另一个图形也非常特殊（如图5-32下），它的四个面都是？

生：直角三角形，为什么SBC是直角三角形？

师：我们刚刚证明了BC垂直于面SAC啊。

生：哦。

师：这两个字同学认识吗？

生：鳖如？鳖需？……

师：叫鳖臑（nào），这曾经出现在湖北省的高考中，很多同学看到这个就晕了，说别闹，现在你们不用担心了，应该叫随便闹。

生：（笑）。

师：所以不止国外的数学家对教学做出很大的贡献，其实中国的数学家也？

生：做出了很多贡献！

F.总结反思，提高认识

师：本节课学到了什么？

生：线面垂直的定义、判定和证明，学习到了降维的思想，认识了欧几里得、勒让德、刘徽和克莱罗。

师：更重要的是，认识了你们这些小小的数学家！