HPM视角下的教学设计、实施与评价研究

（一）HPM教学原则

数学教学原则在之前早有数学家与数学教育家进行过描述，如波利亚提出“主动学习、最佳动机、阶段序进”原理，M.克莱因提出“兴趣、动机、直观、文化原理”等，结合数学史的教育价值，建立了史料选取和教学设计的五项原则——趣味性、科学性、可学性、有效库和新颖性。每项原则的具体含义见表5-1。

表5-1　2HPM教学原则

在教学设计中哪些史料适合融入数学史，怎么样设计数学史融入数学的教学，都可从这五项原则出发进行考虑。

（二）数学史应用方式

HPM成立后，很多数学教育家、数学教师对于数学史在数学教学上的具体应用方式做了理论探讨，其中福维尔（Fauvel）总结了数学教学中运用数学史的方式，共有十种：①介绍历史上数学家的故事；②运用数学史引入新概念；③鼓励学生理解以所学概念为答案的数学史问题；④讲授“数学史”课；⑤利用历史上的数学教科书设计课堂练习与作业；⑥举办数学历史主题的展览；⑦运用历史上的主要例子来说明方法和技术；⑧探索过去的错误、另类观点以帮助今天的学习者理解并解决困难；⑨借鉴历史发展设计一个话题的教学方法；⑩基于历史信息设计大纲范围内主题的顺序和结构。茨纳基斯（Tzanakis）等总结了三种数学史在数学教学中的运用方式：①提供直接的历史信息；②借鉴历史进程教学；③开发对数学及其社会背景的深刻意识。詹克维斯特则提出了三种方式：点缀式、模块法、基于历史的方法。汪晓勤将其进行综合，得到适应于中国课堂的数学教学中运用数学史的方式有附加式、复制式、顺应式、重构式。其各项的含义如表5-2所示。

表5-2　数学史运用方式

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四种方式的水平依次增加，将数学史融入课堂教学时，要根据情况恰当、灵活地使用这四种方式。

（三）HPM案例分析框架

HPM视角下的课堂教学效果如何？需要从过程和结果两方面对其进行评价。过程可以对应于上文提到的两座桥梁，HPM视角下的教学要兼顾知识的历史顺序、逻辑顺序与学生的发生顺序，依次观察数学史与数学课堂的融合度。对结果的评价，则要涉及数学史的教育价值。因此，在构建HPM案例分框架之前，要深入探讨数学史的教育价值。汪晓勤在西方有关研究的基础上，结合中国的实践背景，将数学史的教育价值分为“知识之谐”“方法之美”“探究之乐”“能为之助”“文化之魅”“德育之效”六个方面，具体含义如表5-3所示。

表5-3　数学史教育价值

在以上基础之上，可以初步建立HPM案例分析四维框架，如图5-2。

图5-2　HPM案例分析框架

其中史料的适切性，是指数学史材料的选取必须遵循五个原则：趣味性、科学性、有效性、可学性、新颖性。方式的多元性，是指将数学史融入课堂教学时，要根据情况恰当、灵活地使用这四种方式。融入的自然性，是指数学史融入数学教学不是让学生原原本本重蹈人类的历史，而是要考虑到逻辑顺序、历史顺序和实际顺序三者的统一。价值的深刻性，是指将数学史融入课堂教学时，要充分彰显数学史的这六类教育价值。