数学史在教学中的融入

（一）教育取向的数学史研究

教育取向的数学史研究，是指对数学课程中的概念、公式、定理、问题的历史进行研究，不是为历史而历史，而是为教育而历史，这是HPM研究的基础性工作，如果不了解一个概念、定理、问题的历史，那就谈不上对历史相似性的研究，更无从借鉴历史进行教学。以下分别从高中阶段的数与代数、解析几何和三角学为例进行说明。

在代数主题上，很多文献从表征的角度将代数的发展阶段分为修辞代数、缩略代数和符号代数。卡茨（Katz）和巴顿（Barton）则从另一个角度将代数的发展阶段分为几何阶段、静态的解方程阶段、动态的函数阶段和抽象阶段。从这一划分可获得今日代数教学的一些启示。雷德福（Radford）和普格（Puig）对历史上代数发展阶段中的几何阶段进一步进行了关注，发现这一阶段在教学中是无法跳过的，否则无法促成学生对代数运算含义的理解。另外，也有学者对单个概念或定理进行研究，如有对复数概念的产生和发展进行描述的，从卡丹到邦贝利再到莱布尼兹，讲述了复数从产生到被接受漫长的历史发展过程，对于教师设计复数的教学有重要的借鉴价值。有对二项式定理相关历史的研究，对20世纪中叶前出版的48种西方代数教科书中二项式定理的引入、证明和应用进行考查，发现其可以对二项式定理的教学提供借鉴。

在解析几何方面，博格（Boag）对作为圆锥截面的椭圆中如何找到焦点进行了研究，并讲述了旦德林球的历史。汪晓勤从中学数学教科书中椭圆方程的推导方式为出发点，考查历史上数学家对椭圆方程的推导方法，从古希腊的几何传统到18世纪和差术的使用，再到19世纪多元的方法，最后到20世纪方法的统一，进而探讨教学中是否可以借鉴历史采用合适的方法，从而说明其对如今教学的启示。在斜率概念的教学中为什么要用正切而不是正弦或余弦，可以从20世纪中叶以前的53种西方解析几何教科书进行考查，发现历史上斜率概念出现比直线方程晚，从而说明用正切定义的合理性。在三角学方面，法国人对早期三角学教科书三角函数部分进行了考查，发现其中一些内容对我们今天的教科书编写有启发作用。汪晓勤对20世纪中叶以前的西方三角文献中的和角定理的历史进行了考查，发现了历史上精彩纷呈的不同的证明方法，可以在教学中采用，拓宽学生思维，也揭示了不同知识之间的密切联系。任意角三角函数是何时出现的？笔者也曾针对教学中的困惑对20世纪中叶以前西方三角学教科书中的三角函数概念进行研究，从而为学生任意角三角函数的学习提供启示。

（二）历史相似性实验研究

所谓的历史相似性，即认为个体数学理解的发展遵循数学思想的历史发展顺序，数学史有助于数学教学的一个重要理论基础，就是学生对数学知识的认知过程和历史上该知识的发展过程存在一定的相似性。通过历史相似性的研究，可以通过历史了解学生，为教学设计提供依据，学生的历史相似性往往是HPM教学的出发点。

有关历史相似性的研究并不少见，如哈珀（Harper）通过研究发现，学生对于未知数的理解与历史上代数学的三个发展阶段十分类似。通过调查发现，高一和高三学生用自己的语言对函数的描述涵盖了从17世纪莱布尼兹到20世纪布尔巴基学派诸多数学家的各种定义，他们的理解与历史上数学家的理解高度相似。殷克明对湖北、安徽、江苏、上海四地的四所高中三个年级的学生进行了测试，测试结果发现，高中生对切线的理解与欧几里得、阿波罗尼斯和阿基米德等的理解具有相似性。沈金兴针对“投掷问题”和“点数问题”对学生进行了测试和访谈，结果表示学生所持的观念与困惑与历史上的数学家们的困惑、错误化及策略具有相当程度的相似性。也有研究表明，学生的认知顺序和历史顺序之间的关系并不绝对，通过对学生对序关系和不等关系的测试，学生既有符合历史顺序的地方，也有不符合的，需要进一步的探究。

（三）HPM教学实践与案例开发

近年来，数学史融入高中数学实践的研究不断涌现，有从数学史的价值方面入手进行教学实践的，如詹克维斯特（Jankvist）从数学史融入数学教学的“目标说”出发，对通过敲入数学史的离散数学教学后的效果进行了研究，对数学史融入数学教学的价值进行了进一步的说明；也有从具体的数学概念入手进行HPM课例开发的，如孙冲针对导数教学中学生出现的导数与切线定义分离的现象，借鉴数学史重构导数概念教学，训练学生的理解能力与数形之间的转化能力；钟萍等从学生面对函数概念具有的历史相似性出发，参照画数概念的演进历史，为高中函数教学实现从“变量说”到“对应说”的自然过渡，使学生对函数概念本质的理解更加深入；陈锋从高中学生对棱柱定义的理解存在历史相似性出发，重构历史，设计棱柱定义的教学，教学实践说明学生对这样的教学方式高度认可，有助于学生对棱柱定义的理解。(www.xing528.com)

同时，数学史融入教学的行动研究在近年也开始出现，这一研究方式对于学生和教师都有一定的意义，教师通过数学史强入数学教学的行动研究来解决教学中遇到的困难，期间也通过行动研究来促进自身的专业发展。例如，张小明在教学中发现对不少学生来说数学史枯燥的、乏味的，而展开HPM的行动研究，改变了学生自身对HPM的认识。王芳针对学生在导数概念学习中出现的重应用、轻概念的现状展开了HPM的行动研究。研究发现，数学史加强了学生对导数概念的理解，并让教师对数学本质有了更深的理解，全面提升教师的专业素养和科研能力。也有研究者将研究与实践相结合，基于“数列”整章内容，选取几个典型的知识点，实施数学史融入课堂教学的行动研究，取得了良好的教学效果，同时也促进了教师的专业素质和综合能力。因此，数学史融入数学教学的行动研究对教与学都有促进作用，既有利于解决教学中的实际问题，也有助于将HPM理论与实践相结合。

（四）HPM与教师专题展

通过HPM来促进教师专业发展，是HPM研究领域近年来开始兴起的一个主题。有从整体上的促进教师专业发展进行研究的，如蒲淑萍以一个数学教育工作室为例，通过叙事研究和参与式行动的方法对HPM介入数学教学，针对6名教师的专业发展进行了研究，发现6位教师的数学史知识、数学学科教学知识等有显著提高。吴骏对HPM促进教师专业发展进行个案研究，研究结果表明，HPM促进了教师教学的发展，同时可以从翻译学循环的角度对其进行分析。

另外，也有从某个方面关注HPM对教师的促进作用的。例如，从知识方面进行描述。莫斯沃德（Mosvold）、雅各布森（Jakobsen）和詹克维斯特从MKT的视角描述数学史，对教师的MKT各个方面均有促进作用。黄友初对职前教师学习数学史课程前后教学知识的变化进行了研究，研究发现数学史使职前教师的学科内容知识和教学内容知识都产生了变化。在课堂上倾听学生对于教师来说非常重要，通过研究发现，通过让在职教师阅读和理解历史文献有助于教师接受他人的观点，从而帮助他们学会倾听。

（五）数学史融入数学教科书

有关数学史融入教科书的方式与价值，李明振和庞坤提出数学史融入数学教科书的原则有科学定论原则、匹配协同原则、功能复合原则、时空多元原则、可读激趣原则。呈现方式有渗入教科书内容各环节、插入数学史阅读材料、设置“数学史选讲”专题、推荐数学史阅读书目。蒲淑萍和汪晓勤对数学史如何融入数学教科书进行了分析，以中法两国教科书为例，说明了数学史的融入要符合学生认知基础，更多地采用重构式。数学史应成为衡量教科书质量的一个指标。

有关教科书中数学史内容的分析，王静和胡典顺从内容、分布、分类、引入方式四个角度对人教版中的数学史内容进行了分析，并提出了相应的建议。汪晓勤从数学教科书应用数学史的方式对法国高中数学教科书中的数学史进行了考查。拉科马（Lakoma）对波兰教科书中的数学史进行了考查，认为教科书中的数学史要与学生的认知发展相切合。