点、线、面的位置关系教学优化方案

从人教版数学教科书出发，可以将点、线、面位置关系的教学内容分为平面的概念与公理、空间中的异面直线、直线、平面平行的判定及其性质和直线、平面垂直的判定及其性质四个部分。本节从这四个部分出发，梳理有关点、线、面位置的关系。

（一）平面概念与公理的教学

从古希腊开始，欧几里得将几何构建为一个以公理为基础的理论体系，平面在其中起到了至关重要的作用。19世纪，希尔伯特把点、线、面三个概念作为他的几何公理系统的基础，他没有给出平面的定义，而是通过公理系统定义它们之间的关系。这一定义延续至今，数学教科书普遍遵循希尔伯特的公理系统，对平面不加定义，而是通过公理进行刻画。在一个立体图形中，平面往往起着奠基的作用。

在目前的高中数学教学中，平面有着重要的作用。首先，在平面几何中，平面并非单独研究的对象，平面概念是连接立体几何与平面几何的枢纽。在欧几里得的公理体系中，平面概念起着至关重要的作用，欧几里得研究几何体系首先是在平面上，然后才在空间内研究。同时，刻画平面的三个公理是立体几何公理体系的基石，是研究空间图形并进行逻辑推理的基础。公理1是判定直线是否在平面的依据，公理2提供了确定平面最基本的依据，公理3是设定两个平面交线位置的依据，它是构成线面角、面面角、直线与平面、平面与平面位置关系的基础。

平面的概念在几何建构中可以体现划归的思想，立体几何问题总是划归为平面问题解决。立体几何的定理条条都是在讲退策，退到平面上。同时，掌握平面的概念是建立空间观念、学习立体几何的重要基础。

另外，学生在学习平面概念与公理时还存在很多问题，平面概念在教学中的难点主要表现在两个方面：第一，难以理解平面的本质属性及三条公理。第二，抽象程度高。有调查显示，在平面概念的教学之后，学生对平面概念的理解还是停留在视觉印象和感性状态，没有数学地审视平面的特征。在教学过程中，教师对平面概念的教学模式比较单一，通常采用先观察实例，其次从实例中抽象出平面的概念，然后教学生画平面，最后讲授平面性质的三条公理。因此，究其原因，教师对平面概念的教学不重视，认为平面概念是个容易理解的概念，故在教学中不会花费太多的时间和精力。那么如何改变上述问题呢？一些研究表明，一个没有数学学位的大学教育程度的成年人在理解平面的概念时，他们的观点具有历史相似性。

因此，有多位学者提出从数学史与数学教育之间的关系（以下简称HPM）的视角出发设计教学，如徐章稻提到，简单地认为这些概念很基本，可能带来一些教学上的问题：学生在多大程度上理解这些基本概念，学生能理解这些基本概念背后的思想吗？我们知道公理系统是一门学科发展到一定程度、经过系统整理后的结果，是形式的产物。荷兰数学家和数学教育家弗赖登塔尔（H.Freudenthal）说：“没有一种数学思想，以它被发现时的那个样子发表出来，一个问题被解决以后，相应地也发展成一种形式化的技巧，结果火热的思考变成了冰冷的美丽。”弗赖登塔尔强烈反对把数学家的工作结果当作数学教育的出发点。因此，可以从历史的视角出发，将平面概念公理化的过程展现出来，从而将冰冷的美丽转化为火热的思考。

（二）异面直线的教学

异面直线是高中数学学习中一个非常重要的知识点，因为这部分内容处于立体几何的入口阶段，在理论上，需要与平面几何知识多作对比和类比；在实践方面，要多观察实物模型，充分发挥直观的作用。研究表明，空间想象能力和问题表征能力是影响学生异面直线学习的关键。

常规的教学顺序为先从长方体中抽象出异面直线的概念，再利用平面的推广抽象出公理4和等角定理，在教学中需要解决的问题有：为什么要学异面直线所成的角？如何突出学生的主体作用？如何引导学生发现其中划归的数学思想？(www.xing528.com)

这一节的内容十分关键，其中公理4与等角定理是后面继续研究空间线面位置关系的一个重要概念。其中公理4，即空间中平行线的传递性在课本中是以公理的形式出现，但实际上，在《几何原本》中，它是以定理的形式出现，实际上可以通过公理2证明的。所以，事实上它并不是公理，但课本中出于简洁性的需要将其作为公理出现。有研究者认为，此公理作为定理出现，可以训练学生对反证法、同一法等重要思想方法的理解。

（三）直线、平面平行的判定及其性质教学

线面平面判定定理的教学基本分为三个环节，分别为判定定理的引入，定理的证明和定理的应用。通过观察日关灯管与天花板的关系，让学生发现线面平行的判定定理，并将线面平行问题转化为线线平行，定理的证明利用反证法，最后在三角形和平行四边形中应用此判定定理。在教学中对应“线面平行”判定定理本质的理解，实际上就是将平面内的一条直线平移到平面外，符合学生的认知特点。

平面与平面平行的判定定理是高中立体几何中的重要定理，在现行课标中不要求定理的证明，但要承认判定定理并加以应用。人教版教科书中利用长方体模型直接引入该定理，在实际教学中，通过感知、操作、归纳来进行此定理的教学。但在当前教学中，这样的教学方式是让学生困惑的。当教师归纳出此定理时，学生普遍表示出迷茫、将信将疑。即使像北京市第五中学示范性学校的学生，也似乎只是无奈地接受和承认判定定理。困惑在于仅仅依靠看一看、操作所感知的结果靠得住、可信吗？数学是一门思维性的学科，数学定理不能依靠操作加以确认，未加证明的定理只能是猜想证明。教师也许会声明之后用向量的办法进行证明，但远水解不了近渴，同时文科学生不学后面的选修内容，那这句话对文科生就成了空话。如果教师只是说记住结论，会用就行，那学生怎能在心灵深处确信它的客观真理性，他们的困惑最终只会不了了之。

有关平行性质定理的关注较少，线面平行性质定理的教学通常从实际生活情境引入，营造直线所在的平面与另一个平面相交的情境，让学生经过猜想抽象出性质定理，最后进行证明和应用。其中需要培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。面面平行性质定理的教学以公理2为基础，让学生举出面面平行所具有的性质，然后抽取其中最基本的性质，即面面平行的性质定理，最后完成证明与练习，这样的设计可以充分暴露学生的思维本质。

（四）直线、平面垂直的判定及其性质的教学

直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，它是空间中线线垂直位置关系的拓展，又是面面垂直的基础，是空间中垂直关系转化的重点，因而它是点、线、面位置关系中的核心概念之一。它既是直线与平面位置关系的深化，又是研究面面垂直、线面角、面面角的基础，在教科书中起到承上启下的作用，具有相当重要的地位。第一，线面垂直是立体几何知识框架中的重要支点，是最重要的基础知识，它与许多重要概念、重要定理有着千丝万缕的联系；第二，线面垂直是各种位置转化的中心环节，在培养能力中起着十分重要的作用；第三，线面垂直是解答立体问题中许多具体方法的基石。难点有三，一是问题的引入，二是线面垂直定义的生成，三是线面垂直判定定理的建构。同时，按现行课标要求，在不要求定理证明的情况下，要承认判定定理，而且还要能加以应用。然而，实际教学中，通过直观感知、操作确认、归纳总结，当教师归纳出这两个判定定理之后，如果不加证明，则学生和学习面面平行判定定理时一样，普遍表现出迷茫和将信将疑。

面面垂直的定理教学可以从生活实例和已有知识经验出发，引导学生构建面面垂直的判定方法，通过论证形成判定定理并给出应用实例。首先从生活中构建面面平行的问题出发，猜想出面面垂直的定理，接着利用证明来验证，最后回到生活中进行验证，需要让学生经历探究的过程。在教学中可以突出类比的思想，从线线垂直类比到面面垂直。

有些教师认为，线面垂直的性质定理用向量直接证明即可，但证明此性质定理的反证法有助于培养学生的理性思维能力。面面垂直的性质定理在立体几何中有着重要的作用，利用面面垂直的性质定理可以解决立体几何中的很多疑难问题。