高中数学导研式教学的优化方案

任何特定类型的教学都有其适用的前提条件和适用范围，导研式教学也一样。由于导研式教学致力于培养学生的研究力，开发的是大脑的“核能”，因此它的实施对教师、学生以及教学的环境、条件等都有很高的要求。从案例研究以及20位骨干教师的教学实践来看，实施高中数学导研式教学需满足如下两个条件：

（一）教学内部条件

1.学生层面

（1）重建学生的学习文化和学习习惯

恩格斯指出：“文化是根，行为是果”，“文化上每一次进步都让我们向自由迈进一步”。学生的学习文化是影响和决定学生学习目标、学习动力、学习方式、学习效益的深层次因素。良好的学习文化为学生的发展既指引方向，又提供强大动力。

当代学习文化强调，“学生经由探索解决问题、完成项目或任务、形成智力产品等方式，建构对知识及其意义的理解，习得探究的方法和能力”。导研式教学倡导学生以自主、合作与研究的姿态学习，不仅呼唤学生成为学习权利与责任的主体，还呼唤学生学习文化与学习习惯的重建。

（2）建立能有效运转的学生研究小组

“要实现真正的现代数学教育，必须从根本上以不同的方式组织教学，否则是不可能的。在传统的课堂中，再创造方法不可能得到自由的发展。”研究的复杂性与艰巨性，学生认知水平与研究能力的局限性、差异性和多样性，都决定了导研式教学需要建立学生研究小组。这种研究小组的实质是互帮互学以及思维的相互激发，是一种“互惠学习”（reciprocal learning）。这种“互惠学习”既有优等生之间的强强联合、共克困难，也有后进生之间的相互帮扶、相互鼓励，还有优等生与后进生之间的“教学相长”。

研究小组的组建以前后两桌男女生四人组合为宜，因为五人及以上往往有人会成为“旁观者”；三人及以下，又往往达不到思维碰撞与智慧共享的目的；男女混合编组有利于组内氛围的和谐以及思维的活跃。研究小组的功能在于解决学生个体无法解决的问题，而不是解决个体独立就能解决的问题；还在于通过“兵教兵、兵带兵”来提高组内后进生的学习水平。因此，合作研究的前提是有一个值得研究、需要合作解决的真实问题，合作研究的方式是每个学生在独立思考基础上的思维碰撞与智慧共享，合作研究追求的是思维方式、思维结果的多样化以及多样化基础上的最优化。

研究小组活动需要注意四点：一是每个学生都是学习和研究的主体，因此每个学生都应平等参与、积极参与；二是研究小组需要不同思维方式、不同见解的相互碰撞与启发，不能追求，尤其是不能强求思维与见解的一致性；三是以学生成长和发展为目的的研究小组与以科研攻关为目的的研究小组的区别，前者重在使每个学生掌握相应的知识和研究方法，而后者则重在攻克科研难题；四是研究小组应成为相互信任、相互支持以及有共同目标和价值观的研究共同体。

（3）丰富、积累研究与创造的经验

当教师把自主权、研究权还给学生时，学生就会存在一个如何适应、如何有效地使用这些权利以及有没有能力使用这些权利的问题。客观地说，当前大多数学生既缺乏成为权利与责任的主体的心理准备，也缺乏正确行使这些权利、肩负起自己责任的能力准备。因此，为了有效地实施导研式教学，必须让学生掌握思考与研究的策略和方法，不断积累和扩大学生研究与创造的经验。

一般来说，学生掌握思考与研究策略方法的基本途径有两种：一是集中、独立的思维教学；二是渗透式的思维教学。这两种方式各有优点，也各有其局限性，应相互结合、相互支持。由于思维离不开具体对象，问题解决离不开问题本身以及大量的数学知识，因此一般研究性、创新性思维技能教学容易流于形式，会导致肤浅的学习。但是，有局限不等于没有价值，它的价值在于能有效地弥补日常渗透式思维教学的不足，不仅有利于师生形成主动、自觉地培养思维能力的意识，还有利于掌握系统的而不是零碎的思维策略与方法。鉴于此，“世界创新思维之父”爱德华·德·博诺（Edwardde Bono）认为，理想的做法是先进行思维理论教学，然后在纯思维的环境中进行一些技巧训练，最后将这些技巧应用到各个学科中。

就导研式教学而言，当下学生急需积累和强化以下两方面的经验：

第一，数学化的经验。应明确创设现实情境、联系现实的目的不仅仅在于让学生感受到数学与生活的联系，还在于让学生学会如何由“生活”到“数学”，学会抽象概括、建立数学模型。不仅如此，还应避免弗赖登塔尔所担心的、中国现实数学教学中普遍存在的现象，即把“数学化”理解为只能应用于完全非数学的内容，是对某个微小而孤立的片段——“情境”进行数学化，从而建立一个数学模型。完整的数学化应从现实的、非数学的内容开始，再从数学角度进行组织、整理与研究，因为“一切数学的发展在心理上都或多或少地是基于实际的，但是理论一旦在实际的需要中出现，就不可避免地会使它自身获得发展的动力，并超越直接实用的局限”。

第二，归纳与猜想的经验。“任何从事创造性数学的人都知道，在与数学相关的任何问题中，直觉比逻辑过程起着更为重要的作用。”归纳类比、提出猜想假设是数学研究与创造的核心，也是学生学会研究与创造的重要途径与方式。美国芝加哥大学的亚格伯（Jacob W.A.Young）认为，“比数学内容更为重要的是事实，即它最典型、最清晰、最简单地给出了一些思维模式的范例，它们对任何人都有着极大的重要性”。有效的研究之路应充满归纳、类比和猜想的具体经验，但当前的高中学生既缺乏与研究创造相适应的思维模式，又缺少研究创造的范例与经验，尤其是通过归纳假设建构数学概念的经验，因此对他们来说，积累归纳与猜想的经验非常重要。

2.教师层面

学习是环境给养的，而教师是学习环境中最重要的因素。教师的品格修养和学科修养是学习氛围中最重要、最有价值的东西，因为“好学生不是训出来的，而是熏出来的”“教育改革的成败取决于教师的所思所为”。

（1）有较高的数学学科素养

布鲁纳认为，“如果教师自己都看不到数学的内在美和威力，那他就不可能点燃他人对这门课程的内在激情。一个自己都不愿或不会使用直觉思维的教师，他不可能有效地鼓励学生来运用直觉”。斯根普指出：“我先前总认为数学教师都是在教同样的学科，只是一些人比另一些人教得好而已。但是，我现在认为在‘数学’这同一个名词下所教的事实上是两个不同的学科。”国际教育成就评价协会（The International Association for the Evalucation of Educational Achievement，简称“IEA”）于2008年组织的TEDS-M项目（Teacher Education and Development Study-Mathematics）研究发现：在TEDS-M项目中，各国数学教师的教学知识排名顺序与各个国家的学生在TIMSS（The Trends in International Mathematics and Science Study）2007中的数学成绩排名顺序基本一致。因此，教师的数学素养直接决定着所教的数学是“死”的数学还是“活”的数学。当前应注重从如下三方面提高教师的数学素养：

第一，数学史素养。原因有三方面：一是因为数学知识是长期进化的结果，而个体知识的发展与历史上人类知识的发展具有很强的一致性，历史上数学家所遭遇的困难往往是今天学生研究和创造数学的思维障碍，因此“历史顺序是教学的指南”；二是数学史不仅能激发学生的学习兴趣，还能让他们更好地理解数学，进而提高其学习数学的效益与品质；三是数学史能帮助教师更好地指导学生进行研究，既让学生重走数学发展的“关键步骤”，又避免不必要的弯路。因此，数学史知识是数学教师必备的知识，数学教师应从数学史中吸取营养。

第二，对数学知识的深度理解。华罗庚先生认为，所谓“真懂”，不仅要懂书上的逻辑推理，还要懂在没有定律（或定理）之前，该怎样获得它；要经过咀嚼、消化，理解其中的中心环节，提炼出关键性的问题。为了有效地指导学生研究数学，教师应深度理解数学，即应理解知识的产生背景与固着点，理解知识的生长过程与生长阶段，理解知识建构的思维方法和数学思想方法，理解知识间的联系与结构，理解知识的要点与本质。(www.xing528.com)

第三，对数学教育价值的理解。比数学知识更重要的是数学的精神、思想和方法，数学的研究精神、发明发现的思想方法以及大脑的数学思维训练是数学教育的真正价值所在。当下教师应更多地站在数学思维、数学文化和数学教育价值的角度认识数学，以摆脱机械解题对思维、教学的禁锢。事实上，这也是教师懂得数学、深度理解数学的重要标志。

（2）有较强的教学能力与较高的教学境界

“为不教而教，难；为学生有效地自主研究而教，更难！”在导研式教学中，教师不但要成为数学知识的再发现、再创造者，研究型数学课程的开发者，而且还要成为学生研究的指导者，研究共同体的创建者；不仅要有效地利用信息技术开展数学研究，还需要教师投入更多的时间与精力，这对教师各方面的能力与素养提出了极高的要求。不仅如此，导研式教学还对教师的品行与境界也有很高的要求。为发展学生的研究力而教，不仅需要教师有良好的专业素质，还需要教师有淡定的心态、宁静致远的品性以及甘于牺牲切身利益的奉献精神。因为一个功利、浮躁的社会习惯用功利、眼前看得见摸得着的东西来评价教师，而考试检测的往往是学生对知识与技能的掌握情况，而不是学生的研究和创新能力，况且研究力的培养绝非短时期内能够明显见效的。因此，导研式教学不仅需要教师改变教学习惯与教学行为，还需要教师淡泊名利、仰望星空、守望理想。

（3）建构学生以研究为中心的课堂文化

早在1970年，弗赖登塔尔就指出：“传统的教室是否会妨碍学生的主动学习？黑板与座位的安排是否会使学生的眼睛必然被引向教师的讲解，因而只能被动地听？实际上我相信大多数学校必须改组教学，以保证学生只能主动地学，而不是被动地学”，“青年人必须侧耳静听老年人的教诲，在数学与几乎所有的自然科学中，那样的时代早已过去了”。导研式教学要想培养学生的研究力，就需要有研究与创新的氛围，需要创建以学习者研究为中心的课堂文化。因此，它要求教师摒弃一部分智力上的权威以及管理上的权威。因为如果教师决定学生学习的内容、方式及其问题解决的思路与方法，学生就不可能有真正意义上的研究；如果教师控制学生的学习活动，学生就不可能成为自我调控、主动发展和差异发展的学习者。

为了使课堂真正以学生研究为中心，教师需要做好如下五件事情：一是帮助学生搭建“研究支架”，使研究的问题处于学生的“最近发展区”：二是在学生研究过程中，指导与帮助难以开展研究的小组；三是照顾难以参与小组合作研究的个别学生，使他们能跟上整个班级的学习；四是监控与评估学生的研究，以确保学生聚焦于特定的问题，及时收集学生研究过程中的信息，进行有针对性的指导；五是组织研究小组之间的展示与交流，使班级成为一个研究共同体。

（4）有较丰富的导研式教学“经验图式”

数学教学的复杂性、多样性和情境性决定了教师不可能照搬现成的教学理论和教学模式，而需要自己在实践中不断地探索、尝试与反思，最终形成符合自己个性特点以及学生实际的教学风格与经验图式。有学者调查表明：教师的探究教学观念系统由陈述性观念、条件性和程序性观念、经验图式观念三种构成。当探究教学观念仅为陈述性观念时，很难转变为教学行为；当教师的探究教学观念达到经验图式时，最容易产生相应的教学行为。因此，导研式教学要求教师不仅具有相应的教学观念以及丰富的“实践性知识”（practical knowledge），还要是“反思性实践家”（reflective practitioner），具有丰富的导研式教学“经验图式”。

由于导研式教学对教师的数学素养、课程能力、教学能力、品性境界等都有很高的要求，而这些要求个体教师很难达到，因此需要建立教师教学研究共同体。实现经验与智慧的共享，是教师能够有效地实施导研式教学的基础与保障。

（二）教学外部条件

1.课堂评价与学业评价坚持能力与创新导向

课堂评价不仅关系到教师的专业发展以及教学工作的改进，还关系到教师的职称评定、业务比赛结果以及各种荣誉。正确、积极的课堂评价是一种正能量，而错误、消极的课堂教学则是一种负能量。导研式教学呼唤能力与创新导向的课堂评价。这种课堂评价不仅要关注学生所学知识的数量，还要关注学生所学知识的质量；不仅要关注学生获取知识的方式，还要关注学生能力与思维的发展情况；不仅要关注学生学习的效率，还要关注学生学习的效益；不仅要关注学生的眼前发展，还要关注学生的长远发展。

“为思维而教在理论上是很好的，并且许多教师也希望这样，但是在现实中这是不切实际的，因为学校是依据学生对所学知识的再现能力，而不是他们作为一个思考者的能力来评估他们学习的。”当前学业评价与课程改革、教学改革存在诸多深层次的矛盾：首先，以建构主义和人本主义理论为基础，人本化、多元化和发展性的教学与高利害的、单一的、重知识技能考查的评价存在尖锐的矛盾；其次，以合作、对话、交流、体验、宽容等为特征，旨在促进学生生命自然成长的教学与强调精确、控制、熟练为特征的评价存在尖锐的矛盾；再次，以问题、探究为特征的，旨在培养学生能力与思维的教学与侧重于知识与技能考查的评价存在很大的矛盾；最后，高考数学考试时间过短，没有为学生提供足够的思考与探究时间，迫使教师和学生进行强化训练，以便达到“自动反应”和“条件反射”的水平。因此，学业评价的滞后极大地制约了导研式教学的开展，因为大多数测验考查的是死的知识以及通过机械训练习得的技能，而不是学生的研究与思维能力，这会使许多认真、扎实开展研究型教学的教师在教学评价中反而滞后，进而造成他们不愿采用“发现学习”和导研式教学。当前急需改变命题与考试的导向，改进命题与考试的技术，构建能力与创新导向的学业评价机制，以避免学生在评价中不当成功或不当失败。

2.教材既支持又有利于学生研究

教材也是学材，是为教师更好地教、学生更好地学服务的，因此教材应充分考虑教师教学能力和学生学习能力的实际，为研究型学习和教师指导提供思路与方法提供相应的支持和帮助；应指导和帮助教师掌握数学研究的基本套路，即明晰研究背景、提出研究问题、明确研究方法、提出数学猜想、验证数学结论、拓展数学问题。对于有多种途径与方式引入的概念以及多种方法证明的定理，教材应提供广阔的思维空间，提供思维方向与策略指导，从而帮助学生在思维多样化的基础上追求最优化，即处理好点与面的关系，既突出重点，又不平均用力。

为了帮助教师更好地理解数学知识，以便有效地指导学生研究，同时也为了学生能够更好地自学和研究，教材应揭示知识成长的过程与方法、本质与结构，并把隐性的思想方法显性化，把思维的“关节点”和“关键点”显性化。教材中的例题、练习、习题等应考虑不同基础学生的不同需求，为教师和学生留有选择的空间。另外，应变单一的巩固型、模仿型的习题体系为课内与课外相结合、巩固与创新相结合、封闭与开放相结合、开放性与研究性相结合的问题体系。总之，教材应成为引导学生学会学习、学会研究和差异发展的“学材”。

3.信息技术成为研究的工具和智能伙伴

现今，数学活动包括尝试、试验、可视化、模拟和建模；新的数学试验方法已经出现，数学已变得更加实证化、数字化和算法化（algorithmic）。信息技术已经改变并且还在继续改变课程与教学，它能够把真实世界的问题带入课堂中，为课程和教学创造新的机会、提供新的平台；能够帮助教师创建一个富有活力的教学环境，在这个环境里学生不仅可以更好地解决问题，还可发现他们自己的问题。由于研究型学习面临的情境更真实、更复杂，加上学生还要再发现、再创造数学知识，因此更需要借助信息技术构建以学习者为中心、以研究为目的的学习环境。

第一，信息技术作为研究工具帮助突破学生的认知与研究难点。传统数学教学媒体主要有语言、黑板、实物、挂图等，学习的主要工具是纸和笔；而现在，借助数字计算器、图形计算器、各种数学软件（如电子制表软件、统计分析系统、“z+z”超级画板、动态几何系统软件、几何画板等）等学习与研究数学，能减轻学生的运算负担，使过去难以进行的大数运算、精确计算成为可能，从而使学生将时间与精力更好地集中到复杂的、有价值的数学思维上；使过去学生难以画出的各种复杂函数的图像唾手可得，连续的运动变化能直观呈现，实验探究、动手操作成了新的学习方式。另外，技术可视化的特点使得数、式、图、表等能直观、动态地呈现，并易于建立知识的多元联系，从而帮助学生更好地理解数学技巧。因此，信息技术能为学生真实、自然和有效地研究提供强大的支持，从而延伸和提高学生的学习与研究能力。

第二，信息技术作为背景与智能伙伴，可以改变教与学的形态和组织方式。信息技术使教学的即时统计与反馈成为可能，师生互动可以更全面、更充分，如微课、翻转课堂、慕课等学习模式能使学习更加个性化、多样化、差异化、自主化。因此，信息技术不仅能为创造性思维提供更好的条件，是学生研究数学的强有力工具，还能拓展与强化支持研究的物理环境，进而不断地改变教师的教学观和学生的学习观，以及教与学的形态和组织方式。换句话说，信息技术作为教与学的工具与智慧伙伴，正在改变着学生学习的性质与形态。

为了使信息技术能够更好地发挥作用，当前需要进一步开发基于技术的课程以及研发用于课程与学习的技术。