举例讨论二次曲线的情形

由于二次曲线Γ的基本量H，δ，Δ是坐标变换下的不变量，因此对曲线Γ的情形及相关问题进行讨论时，可从Γ关于任何一个直角坐标系的方程出发．

例12　当实数a满足什么条件时，二次方程ax2＋2y2＋6x－4y＋a＝0的曲线是：

（1）椭圆；　　　　（2）双曲线；　　　　（3）抛物线．

分析　依据二次曲线分类中判断曲线情形时所涉及的条件来讨论．

解　对于二次方程ax2＋2y2＋6x－4y＋a＝0，三个系数组分别是

（1）此方程的曲线是椭圆，应满足条件：δ＜0，HΔ＜0，且a≠2．

由δ＜0，得a＞0．于是H＞0，则有Δ＜0．

由得0＜a＜1＋．

所以，当0＜a＜1＋且a≠2时，此方程的曲线是椭圆．

（2）此方程的曲线是双曲线，应满足条件：δ＞0，Δ≠0．

由δ＞0，得a＜0．由Δ≠0，得a≠1±．

所以，当a＜0且a≠1－时，此方程的曲线是双曲线．

（3）此方程的曲线是抛物线，应满足条件：δ＝0，Δ≠0．

可知当a＝0时，此方程的曲线是抛物线．

说明　解题中要注意区分圆与椭圆．形如Ax2＋Cy2＋2Dx＋2Ey＋F＝0的二次方程，其曲线为圆的必要条件是A＝C≠0，因此在本题（1）方程中应使a≠2．

例13　已知：二次曲线Γ的方程为

Ax2＋2Bxy＋Cy2＋2Dx＋2Ey＋F＝0．（*）(www.xing528.com)

求证：方程（*）中H＝0且Δ≠0⇔方程（*）的曲线Γ是等轴双曲线．

分析　等轴双曲线是指实轴长与虚轴长相等的双曲线，依此可知等轴双曲线的标准方程的特征．

证明　（1）如果方程（*）中H＝0且Δ≠0．

已知方程（*）是二次曲线方程，可知系数A，B，C不同时为0．

由H＝0，即A＋C＝0，得C＝－A，则

δ＝B2－AC＝B2＋A2＞0．

通过坐标变换，可将方程（*）化为最简二次方程

其中，A′＋C′＝H′＝H＝0，得C′＝－A′≠0．

又知δ＞0和Δ≠0，于是方程可变形为－＝1，可知Γ是实轴长与虚轴长都等于的等轴双曲线．

（2）如果方程（*）的曲线Γ是等轴双曲线．

不妨假定曲线Γ关于某一直角坐标系的方程为

由方程，得H′＝A′＋C′＝1－1＝0，

Δ′＝1×（－1）×（－m）＝m≠0．

因为方程（*）与方程表示同一曲线，可知方程是方程（*）通过坐标变换化简所得的方程，所以方程（*）的系数组应有H＝H′＝0，Δ＝Δ′≠0．

综合（1）（2）可知，本题结论正确．

说明　一般而言，在平面直角坐标系xOy中，等轴双曲线的标准方程可表示为＝1，其中m≠0．当m＞0时，此双曲线的实轴在x轴上；当m＜0时，此双曲线的实轴在y轴上．