上述需要考察的问题，是一个关于“不变量”的问题．
问题3-7 已知平面直角坐标系xOy和二次方程（*），在任何的平移变换下，基本量H，δ，Δ是否都是不变量？
分析 二次曲线的形态及其几何性质，是曲线固有的几何特征，与坐标系的选取无关．基本量H，δ，Δ的正负性以及值的大小，则是曲线固有几何特征的反映，应与曲线方程的表示形式无关．结合例9的解题说明，猜测H，δ，Δ可能是平移变换下二次曲线的不变量．
研讨 考察平移变换前后曲线的方程相应的H，δ，Δ的值是否对应相等．
平移坐标系xOy，将原点移到不同于点O的任意一点O′（h，k），这时二次方程（*）变为
其中，A′＝A，B′＝B，C′＝C；
D′＝Ah＋Bk＋D，E′＝Bh＋Ck＋E；
F′＝Ah2＋2Bhk＋Ck2＋2Dh＋2Ek＋F．
将方程
的系数组H′，δ′，Δ′与方程（*）的相应系数组进行比较．
（1）分析H′与H，δ′与δ
根据方程
和方程（*）中系数之间的关系，可得
A′＋C′＝A＋C，B′2－A′C′＝B2－AC，
即H′＝H，δ′＝δ．
（2）再分析Δ′与Δ
∴Δ′＝Δ．
综合（1）（2）可知，在任何的平移变换中，H，δ，Δ都是不变量．
说明 本问题研究所得的结论表明，任何平移变换都不会改变基本量H，δ，Δ的值．可见，这些基本量的值是由曲线的几何特征所确定的，它们是不变量．
问题3-8 已知平面直角坐标系xOy和二次方程（*），在任何的旋转变换下，基本量H，δ，Δ是否都是不变量？
分析 可采用类似于问题3-7的研究思路进行探究．
研讨 考察旋转变换前后曲线的方程相应的H，δ，Δ的值是否相等．
旋转坐标轴，设旋转角为θ（0°＜θ＜360°），则二次方程（*）变为(www.xing528.com)
A′x′2＋2B′x′y′＋C′y′2＋2D′x′＋2E′y′＋F′＝0，
由问题3-2的研讨及结论，可知
将方程
的H′，δ′，Δ′与方程（*）的H，δ，Δ进行比较分析．
（1）分析H′和H
（2）分析δ′和δ
将δ′＝B′2－A′C′变形为
由B′＝Bcos2θ－
sin2θ，得
又知A′－C′＝（A－C）cos2θ＋2Bsin2θ，得
（3）分析Δ′和Δ
同理，得
＝（A′C′－B′2）F′＋2B′D′E′－C′D′2－A′E′2．
在Δ′和Δ的表达式中，由于（A′C′－B′2）F′＝（ACB2）F＝－δF，所以只要考察2B′D′E′－C′D′2－A′E′2与2BDE－CD2－AE2是否相等．
又在第3．3节问题3-5中，已得
于是，设，
＝2BDE－CD2－AE2．
∴Δ′＝Δ．
综合（1）（2）（3）可知，在任何的旋转变换中，H，δ，Δ都是不变量．
说明 通过本问题研究所得的结论可以进一步看到，基本量H，δ，Δ的值是曲线固有几何特征的反映．
综合问题3-7和问题3-8研究所得的结论，可知基本量H，δ，Δ是坐标变换下二次曲线的不变量．对于H，δ，Δ的再组合，如H2，H2＋4δ等，当然也是不变量．
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