圆锥曲线的切线性质与切线线性性质

圆锥曲线有广泛的应用，其中许多应用所依据的原理，与圆锥曲线的切线性质有关．

（1）椭圆的切线性质　可以证明，椭圆的切线有如下性质：经过椭圆的切点且垂直于切线的直线，平分这个切点的两条焦点半径的夹角．

图2-18

已知：如图2-18所示，F1，F2是椭圆的两个焦点，PT是经过椭圆上一点P的切线，直线PN⊥PT．

求证：PN平分∠F1PF2．

分析　可利用两个向量的夹角的余弦表达式来证明．

证明　设椭圆上一点P的坐标是（x0，y0），则切线PT的方程是，即b2x0x＋a2y0y＝a2b2．

可知n＝（b2x0，a2y0）垂直于切线PT，因此n是PT的垂线PN的一个方向向量．

再设焦点的坐标为F1（c，0），F2（－c，0），则

于是，得

可知〉．

∵与〉同在余弦函数的单调区间［0，π］内，

∴，即PN平分∠F1PF2．

说明　两个向量夹角的余弦表达式是向量内积表达式的变式，求夹角大小或证明两角相等时常用这个表达式．

经过切点并且垂直于切线的直线叫做曲线在这点的法线．在椭圆的切线性质的讨论中，直线PN就是经过这个椭圆上一点P的法线，因此这条性质也可表述为：经过椭圆上一点的法线平分这一点的两条焦点半径的夹角．这时，可称它为椭圆的法线性质．

分析椭圆的切线性质并联系光线的运动路径，由可知，若以（或）的方向作为入射光线的方向，相应地以（或）的方向作为反射光线的方向，则入射角等于反射角．这就表明，上述的椭圆切线性质具有如下光学意义：

图2-19

从椭圆的一个焦点发出的光线照射到椭圆上，经过反射后的光线都通过另一个焦点．如图2-19所示．

说明　电影放映机所用的聚光灯泡的反射镜面，是由椭圆的一部分绕长轴旋转而成的曲面，其设计原理利用了椭圆的具有光学意义的切线性质．椭圆的这一性质，也可用于声波、热量的传播等．

（2）双曲线的切线性质　在直角坐标平面内，画出方程所表示的双曲线Γ的一个示意图，焦点记为F1，F2．在双曲线Γ位于第一象限的分支上取一点P，画出Γ在点P的切线PT以及焦点半径PF1，PF2，再过点P作切线PT的垂线．

问题2-3　对照椭圆的切线性质，猜想双曲线Γ在点P的切线可能有什么性质？

分析　根据所画图形的直观特征，可提出命题：经过双曲线上一点的切线平分这一点的两条焦点半径的夹角．下面证明这个命题的正确性．

研讨　将所提出的命题表述为证明题形式．

已知：如图2-20所示，F1，F2是双曲线的两个焦点，PT是经过双曲线上一点P的切线．

求证：PT平分∠F1PF2．

证明　设双曲线1上一点P的坐标是（x0，y0），则切线PT的方程是

图2-20

可知，切线PT的一个方向向量是d＝（a2y0，b2x0）．

再设焦点的坐标为F1（c，0），F2（－c，0），则

于是，得(www.xing528.com)

∵与〉同在余弦函数的单调区间［0，π］内，

∴，即PT平分∠F1PF2．

通过证明，可知上述命题是真命题，所以双曲线的切线具有这个命题所阐明的性质．

分析双曲线的切线性质并联系光线的运动路径，同样可知双曲线切线的这一性质的光学意义是：

从双曲线的一个焦点发出的光线照射到双曲线上，经过反射后的光线如同从另一个焦点发出来的一样．如图2-21所示．

图2-21

说明　从光线运动的路径进行观察可见，光线从双曲线的一个焦点发出，照到双曲线上经过反射以后，会使光线散开．

（3）抛物线的切线性质　探究抛物线的切线性质，可运用研讨椭圆和双曲线的切线性质所获得的思考方式，同样采用画图方法进行直观分析，通过提出猜想，再证明结论．

在直角坐标平面内，画出方程y2＝2px（p＞0）所表示的抛物线Γ的一个示意图，焦点记为F．在抛物线Γ上取一点P，画出Γ在点P的切线PT以及焦点半径PF，再过点P分别作切线PT的垂线（即Γ过点P的法线）和x轴（即Γ的对称轴）的平行线．

问题2-4　对照椭圆和双曲线的切线性质，猜想抛物线Γ在点P的切线可能有什么性质？

分析　根据所画图形的直观特征，可提出命题：经过抛物线的切点且垂直于切线的直线，平分这个切点的焦点半径与过切点且平行于对称轴的直线的夹角．下面证明这个命题的正确性．

研讨　将所提出的命题表述为证明题形式．

图2-22

已知：如图2-22，F是抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，PT是经过抛物线上一点P的切线，PN⊥PT，射线PG平行于x轴．

求证：PN平分∠FPG．

证明　设抛物线上一点P的坐标是（x0，y0），则切线PT的方程是，

即px－y0y＋px0＝0．

由此可知，n＝（p，－y0）是PT的垂线PN的一个方向向量．

∵点P（x0，y0）在抛物线y2＝2px上，∴．

已知焦点，可知，．

取射线PG的一个方向向量d＝（1，0），得

可知

∵与〈n，d〉同在余弦函数的单调区间［0，π］内，

∴，即PN平分∠FPG．

通过证明，可知上述命题是真命题，所以抛物线的切线具有这个命题所阐明的性质．

分析抛物线的切线性质并联系光线的运动路径，同样可知抛物线切线的这一性质的光学意义是：

从抛物线的焦点发出的光线照射到抛物线上，经过反射后的光线都平行于抛物线的轴，如图2-23（1）所示；

图2-23

一簇平行于抛物线的轴的光线照射到抛物线上，经过反射后的光线都经过抛物线的焦点，如图2-23（2）所示．

说明　探照灯、太阳灶的反射镜面，其设计原理利用了抛物线的具有光学意义的切线性质．