抛物线的标准方程和性质

在平面M内，已知抛物线Γ的焦点是F，准线是l′，焦点F到准线l′的距离为p．

经过焦点F作准线l′的垂线，垂足为K．以直线KF为x轴、的指向为x轴正向，线段KF的中点O为原点，建立平面直角坐标系xOy，如图2-7所示．

图2-7

在平面直角坐标系xOy中，焦点F的坐标为，准线l′的方程为．

设P（x，y）是抛物线Γ上任意一点，则

点P到准线l′的距离．

由｜PF｜＝d′，得．(www.xing528.com)

化简，得

y2＝2px（p＞0）．　⑤

方程⑤称为抛物线的标准方程．这个方程所表示的抛物线Γ，其焦点在x轴上，准线方程是．

说明　在第1章中探讨抛物线的特征性质时，曾作圆锥面C的轴l在平面M内的射影l0，且知抛物线的焦点在l0上，它的准线垂直于l0．还有，设射影l0与圆锥面C交于一点D，则｜DF｜＝｜DT｜＝dsin2θ，其中的点F是抛物线的焦点，点T是准线与l0的垂足．现将所建立的平面直角坐标系xOy与上述情况对照，其中的x轴就是圆锥面C的轴l在平面M内的射影l0，原点O就是点D，点K就是点T．

在探求抛物线方程时，如果以直线KF为x轴、的反向为x轴正向，或者以直线KF为y轴的指向或其反向为y轴正向，同样取线段KF的中点O为原点，建立平面直角坐标系xOy，那么在这三种情况下分别建立的平面直角坐标系xOy中，可得或或，相应地可导出抛物线的方程依次是

y2＝－2px，　⑥

x2＝2py，　⑦

x2＝－2py，　⑧

其中p＞0．方程⑥，⑦，⑧也是抛物线的标准方程．