双曲线的几何性质及对称性

根据双曲线Γ的标准方程，b＞0），现对双曲线的几何性质进行系统地探讨和整理．

（1）范围　由方程③可知，设双曲线Γ上一点P的坐标为（x，y），则坐标分量x适合不等式，得x≥a或x≤－a．这说明双曲线Γ位于两条平行直线x＝a和x＝－a所夹区域的外部，如图2-4所示．

图2-4

（2）对称性　方程③表明，它所表示的双曲线Γ分别关于y轴、x轴和原点对称．这时，坐标轴是双曲线Γ的对称轴，原点O是双曲线Γ的对称中心．

双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．

（3）顶点　在方程③中，令y＝0，得x＝±a，这说明A1（a，0）和A2（－a，0）是双曲线Γ与x轴的两个交点；令x＝0，可知方程③没有实数解，这说明双曲线Γ与y轴不相交．双曲线与它的一条对称轴的交点叫做双曲线的顶点，双曲线有两个顶点．

对于双曲线Γ，A1，A2是它的顶点，线段A2A1叫做双曲线Γ的实轴．为了便于观察双曲线Γ的图形特征，画图时通常也在y轴上标出B1（0，b）和B2（0，－b），并把线段B1B2叫做双曲线Γ的虚轴．｜A2A1｜＝2a，｜B2B1｜＝2b，a和b分别叫做双曲线Γ的实半轴长和虚半轴长．

（4）渐近线　在图2-4中分别作两组平行线x＝±a和y＝±b，则这四条直线围成一个矩形，这个矩形的两条对角线所在直线的方程分别是和．

观察方程③表示的双曲线Γ，它的两支向上侧或下侧无限延伸，且与直线和直线逐渐接近．可以证明：双曲线Γ在第一象限内那一部分在直线的下方，并随着x逐渐增大而与直线越来越接近；在第四象限内那一部分在直线的上方，并随着x逐渐增大而与直线越来越接近．双曲线Γ在第二、三象限的情况，与它在第一、四象限的情况类似．我们把直线和直线叫做双曲线Γ的渐近线．

（5）离心率　双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率．对于方程③所表示的双曲线Γ，它的离心率等于．在圆锥曲线的统一性质中，曾用e表示圆锥曲线上一点与一个定点和一条定直线的距离之比的比值，又知对于双曲线Γ有c＝ae，可见这个比值e就是双曲线Γ的离心率．所以，双曲线Γ的离心率可表示为，且e＞1．

由和c2＝a2＋b2，得，可知越大则e越大，越小则e越小．因为直线是双曲线Γ的渐近线，所以的大小决定双曲线Γ的陡峭程度，即e的大小决定双曲线Γ的陡峭程度．一般地，e越大则双曲线越陡．这是因为e越大即越大，这时由渐近线所夹的内部含有x轴的那两个部分的张口也越大，所以双曲线Γ越陡．

说明　由c2－a2＝b2，可知a（实半轴的长）、b（虚半轴的长）、c（半焦距）三者满足关系式a2＋b2＝c2．●

例3　已知双曲线的两个焦点为F1，F2，点P在双曲线上，｜PF1｜＝9，求｜PF2｜．

分析　可利用点P在双曲线上以及｜PF1｜＝9列出两个方程，通过解方程组来确定点P的坐标，然后求出｜PF2｜．

解　由双曲线，得a＝4，b＝，c＝6．

根据双曲线的对称性，不妨设两个焦点为F1（6，0），F2（－6，0）．

设点P（x，y）在双曲线上，则20，坐标分量x的取值范围是x≤－4或x≥4．

又 知，｜P F2｜＝．

由｜PF1｜＝9，即，得

再整理，得9x2－48x－260＝0．

解方程，得或．

由于不在点P的坐标分量x的取值范围内，因此舍去．

另一根在点P的坐标分量x的取值范围内．

说明　双曲线中，a＝4．根据双曲线的特征性质可知，双曲线上一点P满足条件｜PF1｜－｜PF2｜＝±8．题中给定｜PF1｜＝9，容易推出｜PF2｜＝1或17．必须注意，如此利用双曲线的特征性质求解时，要进一步判断究竟有两解、还是应取一解（若给定条件不当还有可能无解）．仍设双曲线的两个焦点为F1（6，0）和F2（－6，0），此曲线上一点为P（x，y），可知x≤－4或x≥4．

①若，得(www.xing528.com)

再整理，得．

解方程，得或x＝－2．

由于这两个根都不在点P的坐标分量x的取值范围内，可知此双曲线上不存在点P使｜PF2｜＝1．

②若，得

再整理，得3x2＋16x－364＝0．

解方程，得或x＝－14．

这两个根都在点P的坐标分量x的取值范围内．

当时，由

得，符合题意．

因此，可取｜PF2｜＝17．（当x＝－14时，由｜PF1｜＝可知｜PF1｜≠9，即x＝－14不合题意，但没有必要讨论．）

如上所述判断过程有些繁琐，后面再留意尽可能改用更简方法来讨论这个问题．

例4　如图2-5所示，A，B，C是三个观察哨，A在B的正东，两地相距6km；C在B的北偏西30°，两地相距4km．在某一时刻，A观察哨发现有一种信号，并知道该信号的传播速度是1km／s；4s后B，C两个哨所同时发现这种信号．现用P表示发出信号的地点，试通过建立平面直角坐标系xOy和指出点P的坐标，以确定这一信号发出地点的位置．

图2-5

分析　信号从点P发出以后，到达哨所A和B的时间差是4s，由信号的传播速度可知｜PB｜与｜PA｜的差，于是可断定点P位于以A，B为焦点的双曲线中内部含焦点A的一支上．又由B，C两个哨所同时发现信号，可知｜PB｜＝｜PC｜，即点P在线段BC的垂直平分线上．建立适当的平面直角坐标系，可求出点P所在的双曲线及直线的方程；联立方程组，可求出点P的坐标．

解　以经过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，1km为单位长度，建立平面直角坐标系xOy，如图2-6所示．

图2-6

在平面直角坐标系xOy中，A和B的坐标分别为（3，0）和（－3，0）．已知信号从点P发出以后，到达哨所A和B的时间差是4s，又知该信号的传播速度是1km／s，得｜PB｜－｜PA｜＝4，可知点P在以A，B为焦点的双曲线中内部含焦点A的那一支上．

因为双曲线的半焦距c＝3，实半轴长a＝2，又由b2＝c2－a2得b2＝5，所以点P所在双曲线的方程是，其中内部含焦点A的那一支满足条件x≥2．

已知信号从点P发出以后，B，C两个哨所同时发现信号，得｜PB｜＝｜PC｜，所以点P在线段BC的垂直平分线上．由哨所B，C的位置，得B（－3，0），，则线段BC的垂直平分线的方程是．

由方程组，　解得

所以，点P的坐标是（8，）．

说明　根据已知条件，可断定点P在双曲线的右支上、又在一条线段的垂直平分线上．这是本题的解题关键所在．我们要熟悉一些曲线（直线）的特征性质，并学会灵活应用．