双曲线的标准方程及性质

在平面M内，已知双曲线Γ的两个焦点分别为F1，F2，｜F1F2｜＝2c，定长m＝2a，其中0＜a＜c．

图2-3

以线段F1F2所在的直线为x轴、的指向为x轴正向，且以线段F1F2的中点O为原点，建立平面直角坐标系xOy，如图2-3所示．

在平面直角坐标系xOy中，F1（c，0），F2（－c，0）．

设P（x，y）是双曲线Γ上任意一点，则

由｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a，得

化简，得

（c2－a2）x2－a2y2＝a2（c2－a2）．

∵0＜a＜c，∴c2－a2＞0．(www.xing528.com)

设c2－a2＝b2，且b＞0，得

b2x2－a2y2＝a2b2，

即

方程③称为双曲线的标准方程，其中b2＝c2－a2．这个方程所表示的双曲线Γ，它的两个焦点在x轴上，焦点是F1（c，0）和F2（－c，0）．

说明　我们通过建立平面直角坐标系xOy，利用双曲线的特征性质导出了双曲线的标准方程．如同椭圆的情况一样，平面直角坐标系xOy中的x轴，其实就是第1章中圆锥面C的轴l在平面M内的射影l0，双曲线的两个焦点都在x轴上，即在l0上．

同样地，双曲线的两个焦点的距离叫做焦距．

本节设双曲线的焦距｜F1F2｜＝2c，定长m＝2a，联系圆锥曲线统一性质中这条双曲线的e（这时e＞1），可知｜F1F2｜＝me，即2a·e＝2c，得c＝ae．

在探求双曲线方程时，如果以线段F1F2所在的直线为y轴、线段F1F2的中点O为原点，相应地建立平面直角坐标系xOy，使F1（0，c），F2（0，－c），那么可导出双曲线的方程为

方程④也是双曲线的标准方程．