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椭圆的标准方程及其坐标系建立

时间:2023-07-18 理论教育 版权反馈
【摘要】:在平面M内,已知椭圆Γ的两个焦点分别为F1,F2,|F1F2|=2c,定长m=2a,其中0<c<a.图2-1以线段F1F2所在的直线为x轴、的指向为x轴正向,且以线段F1F2的中点O为原点,建立平面直角坐标系xOy,如图2-1所示.在平面直角坐标系xOy中,F1(c,0),F2(-c,0).设P(x,y)是椭圆Γ上任意一点,则即.两边平方,整理得.两边再平方,得a2(x-c)2+a2y2=(a2-

椭圆的标准方程及其坐标系建立

在平面M内,已知椭圆Γ的两个焦点分别为F1,F2,|F1F2|=2c,定长m=2a,其中0<c<a.

图2-1

以线段F1F2所在的直线为x轴、的指向为x轴正向,且以线段F1F2中点O为原点,建立平面直角坐标系xOy,如图2-1所示.

在平面直角坐标系xOy中,F1(c,0),F2(-c,0).

设P(x,y)是椭圆Γ上任意一点,则

两边平方,整理得

两边再平方,得a2(x-c)2+a2y2=(a2-cx)2

再整理,得

(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2).(www.xing528.com)

∵0<c<a,∴a2-c2>0.

设a2-c2=b2,且b>0,得

b2x2+a2y2=a2b2

可化为

方程①称为椭圆的标准方程,其中b2=a2-c2.这个方程所表示的椭圆Γ,它的两个焦点在x轴上,焦点是F1(c,0)和F2(-c,0).

说明 我们通过建立平面直角坐标系xOy,利用椭圆的特征性质导出了椭圆的标准方程.这个坐标系中的x轴,其实就是第1章中圆锥面C的轴l在平面M内的射影l0,椭圆的两个焦点都在x轴上,即在l0上.

椭圆两个焦点的距离叫做焦距.

本节设椭圆的焦距|F1F2|=2c,定长m=2a,联系圆锥曲线统一性质中这个椭圆的e(这时0<e<1),可知|F1F2|=me,即2a·e=2c,得c=ae.

在探求椭圆方程时,如果以线段F1F2所在的直线为y轴、线段F1F2的中点O为原点,相应地建立平面直角坐标系xOy,使F1(0,c),F2(0,-c),那么可导出椭圆的方程为

方程②同样也是椭圆的标准方程.

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