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圆锥曲线的定义及截线形态与截平面位置的关系

时间:2023-07-18 理论教育 版权反馈
【摘要】:一个平面与圆锥面相交,也可以说是“用一个平面去截圆锥面”,这个平面就称为截平面,它们的交线又称为截线.用一个平面去截一个圆锥面,所得截线的形态与截平面的位置有关.设圆锥面C的顶点为A,母线与轴l的夹角为θ;轴l与平面M所成的角为α,0≤α≤.(1)如果平面M经过顶点A,那么平面M与圆锥面C的截线Γ有三种可能的情况:当θ<α≤时,截线Γ只含有一个点A;当α=θ时,截线Γ是一条母线;当0≤α<θ时,截

圆锥曲线的定义及截线形态与截平面位置的关系

一个平面与圆锥面相交,也可以说是“用一个平面去截圆锥面”,这个平面就称为截平面,它们的交线又称为截线.

用一个平面去截一个圆锥面,所得截线的形态与截平面的位置有关.

设圆锥面C的顶点为A,母线与轴l的夹角为θ;轴l与平面M所成的角为α,0≤α≤

(1)如果平面M经过顶点A,那么平面M与圆锥面C的截线Γ有三种可能的情况:

当θ<α≤时,截线Γ只含有一个点A;

当α=θ时,截线Γ是一条母线;

当0≤α<θ时,截线Γ是两条母线.

(2)如果平面M不经过顶点A,那么平面M与圆锥面C的截线Γ有四种可能的情况,如图1-2所示:

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图1-2

当α=时,截线Γ是一个圆;

当θ<α<时,截线Γ称为椭圆

当α=θ时,截线Γ称为抛物线

当0≤α<θ时,截线Γ称为双曲线

由(2)中四种情况所得的截线,统称为圆锥曲线,它们其实都是平面M内的曲线.由(1)中三种情况所得的截线,则称为退化的圆锥曲线.

对于(2)中当时截线Γ是一个圆,说理如下:设轴l与平面M垂直于点E,则E是顶点A在平面M内的射影.由旋转变换的保长性可知,位于圆锥面母线上且夹在点A与平面M间的所有线段等长,则这些线段在平面M内的射影也等长,所以点E到截线Γ上各点的距离相等,Γ是以点E为圆心的一个圆.

截线Γ是圆的这种情况在此不作深入研究,后面所说的圆锥曲线主要是指椭圆、抛物线和双曲线.由于(2)中当θ≤α<时,平面M只与圆锥面C的一支相交,可知椭圆、抛物线只与圆锥面C的一支有关;而当0≤α<θ时,平面M一定与圆锥面C的两支都相交,所以双曲线有两支.

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