允许卖空但禁止无风险借贷

如图9－20所示，5%的无风险借贷利率的存在使投资者选择组合B；如果无风险借贷利率变为4%，投资者会选择组合A；如果无风险借贷利率变为6%，投资者会选择组合C。因此，在不同的无风险利率下，我们可不断找到与之对应的最优组合，一直到有效边界被确定为止。

图9-19　无风险借贷条件下的有效集

图9-20　不同的无风险利率下的切点组合

投资于任意一个证券的最优比例是RF的一个简单线性组合，整个有效边界能够通过位于有效边界上的任意两个组合来确定。所以，针对任意两个RF值，确认最优投资组合的特性后，就可以绘出整个有效边界。

下面讨论允许卖空但禁止无风险借贷下有效边界的一般解法。

当我们确定存在一个特定的无风险借贷利率时，最优投资组合是下列联立方程组的解：

求解上述联立方程组时，可将RF作为一个一般参数留在方程中，并求得RF表示的Zk值，这时产生如下形式的解：

Zk＝C0k＋C1kRF

其中，C0k、C1k均为常数，对每个证券来说，它取不同的值，但这些值并不随RF的改变而改变。一旦将Zk表示为RF的函数，我们就可以通过改变RF的值来确定有效边界上不同的点所代表的每个股票的投资额。

对于例题7，给定一个一般的RF，联立方程组为：

解这个联立方程组，有：

（1）利用两个组合确定一般系数。

由上式（D5）知道，若RF＝5，则Z2＝1/63；若RF＝2，则Z2＝72/189。由此，我们有：

1/63＝C02＋C12

72/189＝C02＋C12

解这个方程组可得到：C02＝118/189，C12＝－23/189。这说明了一个道理：有效边界可以通过简单地计算任意两个最优投资组合而直接得到，而不必间接地先将Zk表示为RF的函数。

（2）求解最优边界。

由（D4）、（D5）、（D6）可知，RF＝2时对应的Zk值分别为：

Z1＝42/189，Z2＝72/189，Z3＝6/189

对应的每个证券的投资比例分别为：

X1＝（42/189）/（42/189＋72/189＋6/189）＝7/20

X2＝12/20　　　　　　　　　　　　　　　　　　

X3＝1/20　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

该投资组合的期望收益为：

该投资组合收益率的方差为：

如果知道RF＝2时的投资组合与RF＝5时的投资组合的协方差，我们就可以通过把这个投资组合看作一个资产，求出完整的有效边界。

协方差的确定如下：考虑一个投资组合由已定的两个投资组合各占一半，其具体比例为：

它的方差为：

同时我们知道，由两个资产或组合构成的投资组合的方差为：

由投资组合1和投资组合2以1/2比例构成的投资组合的方差为：(www.xing528.com)

则σ12＝19.95

求出期望收益率的方差和协方差后，就可以和第三节处理两个资产组合时一样，绘出有效边界（如图9－21所示）。

图9-21　最小方差边界

寓言故事

小猪的思维

一只小猪、一只绵羊和一头乳牛一同被关在一个圈栏里。有一天，主人试图捉住小猪，小猪大声嚎叫，猛烈地抗拒。主人竟然“唉”了一声，放开了小猪。绵羊和乳牛很讨厌小猪的嚎叫，事后问道：“主人也常常捉我们，我们并不大呼小叫，你何以要大惊小怪地吼叫？”小猪皱皱眉头，回答道：“捉你们和捉我完全是两回事。主人捉你们只是要你们的毛和乳汁，捉我却是要我的命呢！能不着急吗？”

这则寓言故事很有趣。它在中国股市投资领域里实际上很有启发性。当今的中国股票市场里存在大量散户投资者。于是，“大鱼吃小鱼”就成为一种常态。如果散户投资者忘却了自己是一只常常面临被宰杀危险的“小猪”，那他距离被人“宰杀”就不远了！

（3）包含的证券数量。

允许卖空时，投资者几乎在所有证券上都有持仓。一般来说，每个证券都有一个对应的RF值，对于大于这一值的所有RF值，投资者会持有或卖空该证券；而对于小于这一值的RF值，则采取相反的行动。即如果一个证券的特征使它不愿被持有，则投资者应该卖空，即发行这个证券（发行给他人）。

考察前面例子中的情况：

Z1＝42/189

Z2＝118/189－23/189 RF

Z3＝4/189＋1/189 RF

从图9－22中可以看出，投资者总是持有证券1。如果RF小于118/23，证券2被持有；如果RF大于118/23，证券2被卖空。如果RF大于－4，证券3被持有；如果RF小于－4，证券3将被卖空。

图9-22　投资比例是无风险利率的函数