允许卖空并提供无风险贷款

当存在无风险借贷利率时，有一个风险资产组合优于其他所有组合。在收益－标准差空间中，这个投资组合位于连接无风险资产和风险资产组合的逆时针方向的最远射线上。如图9－18所示，位于RF—B上的组合优于其他风险资产的组合。

图9-18　无风险资产与风险资产组合

确定射线RF—B的等效方法是确定它是斜率最大的射线。因此，我们有如下最大化目标函数：

约束条件为：

上述最优化问题有多种解法（如拉格朗日乘数法）。下面介绍的是一种比较简明的方法。RF可改写为：

根据标准差的计算公式，有：

对每个变量求偏导并令其为零，就可以通过联立方程求出问题的最优解。设

则有：

令Zk＝λXk，则上式变为：

由于i＝1，2，…，N，这是一个由N个方程组成的联立方程组，故可以解出其中的Zk。投资于股票K的最优比例为：

【例题7】　考虑三个证券，C的期望收益率为14%，标准差为6%；S的期望收益率为8%，标准差为3%；U的期望收益率为20%，标准差为15%。假设ρ12＝0.5，ρ13＝0.2，ρ23＝0.4，无风险借贷利率为5%。确定该无风险借贷条件下的投资组合有效集。

解：根据前面的公式有：

将假设值代入上述方程组，有：

14－5＝36Z1＋（0.5）（6）（3）Z2＋（0.2）（6）（15）Z3

8－5＝（0.5）（6）（3）Z1＋9Z2＋（0.4）（3）（15）Z3

20－5＝（0.2）（6）（15）Z1＋（0.4）（3）（15）Z2＋225Z3

解上述联立方程组，有：

因此，对每个证券的投资比例为：

组合投资的期望收益率为：(www.xing528.com)

组合投资收益率方差为：

该投资组合的斜率为：

投资组合的有效集是一条斜率为1.66的直线（如图9－19所示）。