投资组合可能曲线的形状及优化

9.4.2.1　投资组合的可能曲线

投资组合可能曲线上，位于最小方差之上的部分是凹的，而位于最小方差下面的部分是凸的，这是组合问题所具有的一般性质。

图9－11和图9－12分别给出了三种假设下可能的曲线形状。如图9－11所示，（b）和（c）是不可能出现的，唯一可能的是（a）。在（b）中，资产组合的风险不可能小于两个资产的直线所代表的风险（即完全正相关的情况）。（c）的U和V的资产组合的曲线形状与（b）一样，不可能出现。同理，如图9－12所示，唯一合理的也是（a）。

图9-11　当最小方差组合与C结合时，期望收益与标准差的各种可能关系

图9-12　当最小方差组合与S结合时，期望收益与标准差的各种可能关系

9.4.2.2　不允许卖空条件下和允许卖空条件下的有效边界

一个投资者卖掉其并不拥有的一只证券，这个过程被称为卖空。当投资者预期证券的收益为负数时（甚至在某些期望收益率为正的情况下），卖空是有意义的，因为在时点0从卖空中获得的现金流量可以用来购买具有更高收益率的证券。

以三种证券为例，不允许卖空和允许卖空的可行域分别为实线围成的区域a和虚线包含的区域b，如图9－13所示。

图9-13　多种证券的可行域

图9－13所示的a区域，由A、B、C三种证券组合而成，图中的G点，是A和C组合，D再与B组合而成。可行域内的任一组合都是可行组合。在允许卖空的情况下，A、B、C三种证券的组合可行域是曲线L环成的无限区域b。该可行域的形状不能是下凹的。(www.xing528.com)

9.4.2.3　有效组合的原则

有效组合的原则为：①在各种风险条件下，提供最大预期收益率；②在各种预期收益率水平的条件下，提供最小的风险（同时满足这两个条件的组合为有效组合，有效组合并不唯一）。

利用图9－13，我们来解释一下有效边界的定义。图中M点表示所有可行组合中风险最小组合的点。曲线MA及往外延长的虚线（卖空部分）称可行域的上边界。曲线MC及往外延长的虚线（卖空部分）称可行域的下边界。作平行线EF，可看出E点和F点的预期收益相等，但F点的标准差（风险）要大于E点。相对E点，F点表示的组合肯定不是有效组合。再作垂直线EH，E点与H点风险相等，预期收益率H点低，所以H点表示的组合不能是有效组合；而E点同时满足有效组合的二条原则，E点代表的组合为有效组合。

可以验证，上边界所有的点代表的组合均为有效组合。我们称有效组合的集合为有效边界。在多种风险证券组合中，可行域的上边界即为有效边界。在有效边界上的所有组合均为有效组合。

说明：有效组合不是唯一的，且有效组合并不等于最大收益组合。

进一步讨论：在不可卖空区域a中，左边界是所有预期收益率水平下风险最小的，所以右边界上的点不可能是有效组合，左边界满足有效组合原则②；上边界是所有风险水平中预期收益最高的组合集，故下边界上的点不可能是有效组合，上边界满足有效原则①，且同时满足有效原则②，所以上边界是有效边界。