证券资产组合的通用特性优化

证券资产组合的特性可能完全不同于组合中单个资产的特性，一个普遍原理是：当几种资产组合的收益相互独立时，由这些资产构成的组合的离散程度可能比其中任何一个资产都小。

换言之，证券组合的风险并不等于单个证券风险的加权平均。在某些情况下，证券组合的风险比组合中任何一种证券的风险都小，甚至可能为零。现代证券投资组合理论证明了上述结论，为投资者寻找最佳证券组合提供了理论指导。

9.3.3.1　证券投资组合收益的计算

证券投资组合的每一个可能的投资收益率的计算公式为：

Rpj＝∑XiRij

式中，Rpj为证券投资组合P的第j个收益率；Xi为投向证券的资金比例；Rij为证券i的第j个收益率。

那么，证券投资组合的预期收益率的计算公式为：

E（Rpj）＝Rp＝∑PjRpj

式中，Rp为证券投资组合P的预期收益率；Rpj为证券投资组合P的第j个收益率；Pj为证券投资组合P的第j个收益率发生的概率。

通过以下推导，我们可以得出证券投资组合的预期收益率的另外一种计算方法：

Rp＝E（Rpj）＝E（∑Xi·Rij）＝∑Xi·E（Rij）＝∑Xi·Ri

我们通过上式可以看出，证券投资组合的预期收益率是组成证券投资组合的各种证券的预期收益率的加权平均。

【例题3】　存在两种证券，其估计收益率与各自出现的概率如表9－11所示。在投资比例为2∶3的情况下，求证券投资组合的预期收益率。

表9-11　两种证券的估计收益率与各自出现的概率

解：

R1＝16%×25%＋12%×50%＋8%×25%＝12%

R2＝20%×25%＋14%×50%＋4%×25%＝13%

Rp＝∑Xi·Ri＝40%×12%＋60%×13%＝12.6%

9.3.3.2　证券投资组合风险的计算

（1）证券投资组合方差的计算公式为：

式中，σp为证券投资组合P的方差；Rpj为证券投资组合P的第j个投资收益率；Rp为证券投资组合P的预期收益率。

假设R1j、R2j分别是证券一和证券二的第j个投资收益率，R1、R2分别是证券一和证券二的预期收益率，X1、X2分别表示投向证券一和证券二的资金比例，那么，由这两种证券构成的证券投资组合的方差计算如下：

式中，E［（R1j－R）（R2j－R2）］称为证券一和证券二的协方差，用σ12表示，那么：

可以看出，证券投资组合的风险并不等于组合中各个证券风险的加权平均。它除了与单个证券的风险有关外，还与各个证券之间的关系有关。协方差是两个证券收益离差乘积的期望值，与方差有相似之处。不同的是，方差是单个证券收益离差平方的平均值，永远是正值；而协方差是两个证券各自离差之积的平均值，可能是正值，也可能是负值。

当两种证券同时呈现出好的收益结果时，即各自的离差分别大于零；或当两种证券同时呈现出差的收益结果时，即各自的离差分别小于零，两离差之积都取正值，那么有σ12＞0。

当两种证券呈现相反的收益结果，即一种证券好的收益结果同时伴随另一种证券差的收益结果时，两离差之积则取负值，从而σ12＜0。

当两种证券的收益结果的产生条件之间无关系时，即一种证券的收益结果的发生与另一种证券的收益结果的发生之间无任何关联，则协方差σ12＝0。

由此可见，协方差是衡量两种证券之间收益互动性的一个测度。如果两种证券收益结果的变动方向一致，则协方差大于0；如果两种证券收益结果变动方向不一致，则协方差小于0；如果两种证券收益结果的变化方向之间无任何关系，则协方差为0。

【例题4】　表9－12给出了不同投资下的收益（率），讨论不同投资组合下的投资组合风险：①按60%投资资产2和40%投资资产3；②按50%投资资产2和50%投资资产4；③按50%投资资产1和50%投资资产5。

表9-12　不同投资下的收益（率）

解：①按60%投资资产2和40%投资资产3。

资产2与资产3的组合期望收益：

Rp＝10×0.6＋10×0.4＝10

资产2与资产3的组合的协方差：

根据公式：

有资产2与资产3的组合的方差：

资产2与资产3的收益好坏发生在相反的情况下，这种情况下往往可以构建一个零风险的组合。

②按50%投资资产2和50%投资资产4。

假设市场条件与降雨量相互独立，则资产2与资产4的收益是独立的。这时，二者的组合有9种情况，分别计算的结果与公式计算结果相同（可进行检验）。

资产2与资产4的组合期望收益：

Rp＝10×0.5＋10×0.5＝10

两种资产收益相互独立，协方差为0。

资产2与资产4的组合的方差：

当两种资产收益相互独立时，可以看到其方差低于构成组合的任何一个资产的方差（组合降低了风险）。

③按50%投资资产1和50%投资资产5。

资产1与资产5的组合期望收益：

Rp＝9×0.5＋10×0.5＝9.5

资产1与资产5的组合的协方差：

资产1与资产5的组合的方差：

资产1与资产5的收益好坏发生在相同的情况下，这种情况下构建的投资组合并不会减少风险。

（2）为了计算的方便，一般情况下，我们通过把协方差标准化，用相关系数来代替协方差。其标准化的过程如下：

假设σi、σj分别是证券i和证券j的标准差，σij是这两种证券的协方差，用ρij表示两种证券之间的相关系数，则有：

相关系数被限制在－1～＋1之间。

标准化后的相关系数仍然保持协方差的性质，只是其取值范围被限制在－1和＋1之间。

用相关系数代替协方差，由两种证券构成的证券组合的风险就可以表述如下：

当ρ12＝＋1时，称两种证券完全正相关，此时有：

由这两种证券构成的证券组合的风险就等于这两种证券各自风险的线性组合。

当0＜ρ12＜1时，称两种证券之间存在着正相关关系，ρ12越接近＋1，两种证券之间的正相关性越强；越接近0，两种证券之间的正相关性越弱。此时证券组合的风险是：

当ρ12＝0时，称这两种证券之间相互独立。此时，证券组合的风险是：

显然，这是小于两种证券各自风险的线性组合。

当ρ12＝－1时，称两种证券之间完全呈负相关，此时，证券组合的风险是：

此时，证券组合的风险最小。当X1σ1＝X2σ2时，σp＝0，此时两种证券的风险彼此完全抵消。

当－1＜ρ12＜0时，称两种证券之间存在着负相关关系。此时，两种证券之间的风险虽然不能完全抵消，但仍能抵消一部分。ρ12越接近于－1，则抵消的幅度越大；越接近于0，则抵消的幅度越小。(www.xing528.com)

由以上分析可以得出如下结论：无论证券之间的投资比例如何，只要证券之间不存在完全正相关关系，证券组合的风险便总是小于单个证券风险的线性组合。

【例题5】　计算例题1中各种组合情况下的相关系数。

解：根据相关系数的计算公式：

ρ23＝（－36）/（4.9）（7.35）＝－1，其他算法相同。资产之间的协方差与相关系数如表9－13所示。

表9-13　资产之间的协方差与相关系数

从上面分析可以看出，在多种证券中，要选几种证券进行组合投资，应选相关程度较低的证券组合。

9.3.3.3　扩展到多种情况下的资产组合方差计算公式

N项资产组合的方差计算公式：

假设每种资产都相互独立，且对每种资产是等额投资的，则有：

上式说明，当N趋于无穷大时，资产组合的方差趋近于零，即由足够多的相互独立资产构成的组合的方差会趋近于零。

即使每种资产都不是相互独立的，若每种资产都是等额投资的，则资产组合的方差为：

上式可进一步变为：

上式说明，随着N的增大，单个证券的方差对资产组合的贡献趋近于零，但协方差的贡献趋近于平均协方差。即单个资产的风险可以被分散掉，但协方差项对总体风险的影响不能被分散掉。图9－4表述了证券数对组合风险的影响。

图9-4　证券数对组合风险的影响

9.3.3.4　证券投资组合方案的选择

多种证券投资组合的原则是，组合期望收益愈大愈好，组合标准差越小越好。即如果说选择证券A优于选择证券B，当且仅当：

而且至少有一个严格不等式成立。但在同一证券市场中，一般的情形是：一种证券的平均收益愈大，收益的方差（风险）也愈大。因此，上述选择的准则似乎没有什么实用价值。然而，考虑到均值和方差之间的抵换作用，就可以发现它的潜在价值。什么是抵换作用呢？看下面的例子。

【例题6】　假如证券A和证券B的标准差及均值分别是（0.2，0.2）和（0.3，0.10）。若按比例X1，（1－X1）（其中0≤X1≤1）购买证券A和B，这种证券组合的平均收益将是：

R＝X1RA＋（1－X1）RB

方差：

假定ρAB＝0.20，按不同的X1（7个），可得7个组合投资方案的期望收益和标准差，如表9－14所示。

表9-14　7个组合投资方案的期望收益和标准差

把这七个投资方案绘入以σ为横坐标、R为纵坐标的坐标系中，得到一条曲线（如图9－5所示）。事实上，此曲线就是当X1在（0，1）区间上连续变化时，所得的曲线，称为A、B组合的有效前沿。投资者可根据自己的偏好，在有效前沿上选择投资方案。

图9-5　A、B组合的有效前沿

对于不同的ρAB，可得到不同的曲线，也就是可以得到不同的有效前沿，从而决定资金的分配比例。我们在具体选择投资组合时，也可以把投资人的无差别曲线绘入σ、R坐标系中，在无差别曲线与有效前沿相切处的投资组合即为最优方案。这里对其不做详细讨论。

案例分析

个人投资者选择证券组合的理由

普渡大学曾做过一项研究，考察个人投资者选择证券组合的理由。研究人员从一家大型全国性金融经济所的客户计算机记录中随机抽取3 000个客户，分别给他们寄去一份问卷。填写后寄回答卷的共972人，答卷所提供的信息包括性别、婚姻、年龄、收入、学历、职业等六项。对投资者有关信息的了解，有助于分析个人投资者选择证券组合的原因。表9－15至表9－17所示为这六项信息所代表的每一类投资人的数目。

表9-15　按性别及婚姻状况分组的频数统计

表9-16　按年龄及受教育程度分组的频数统计

表9-17　按职业及年收入分组的频数统计

思考与讨论问题：根据上面三个表格的统计数据，分析不同类别的人在组合投资选择上的差异。