9.2.2.1 非饱和性（第一个性质）
效用函数的第一个限制条件是，它必须与多多益善相符。经济学上称这一性质为非饱和性，即人们总是选择结果最大的投资。
若用期末财富表示效用函数，非饱和性的意思便是财富多比财富少好。随着财富的增加，效用也增加，那么效用对财富的一阶导数就是正数。
小常识
无差异曲线
无差异曲线是描述给消费者带来相同满足程度的不同资源品组合的曲线。一般而言，无差异曲线是用来表示消费者偏好相同的两种商品的所有组合的。因为同一条无差异曲线上的每一个点所代表的商品组合所提供的总效用是相等的，所以无差异曲线也叫作等效用线。在投资学中，无差异曲线是对一个特定的投资者而言的，根据他对期望收益率和风险的偏好态度，按照期望收益率对风险补偿的要求，得到的一系列满意程度相同的（无差异）证券组合在均值方差（或标准差）坐标系中所形成的曲线。
无差异曲线具有以下三个基本性质：
（1）由于通常假定效用函数是连续的，所以，在同一坐标平面上的任何两条无差异曲线之间，可以有无数条无差异曲线。所有这些无差异曲线之间的相互关系是：离原点越远的无差异曲线代表的效用水平越高，离原点越近的无差异曲线代表的效用水平越低。
（2）在同一坐标平面图上的任何两条无差异曲线都不会相交。
（3）无差异曲线是凸向原点的。这就是说，无差异曲线不仅向右下方倾斜（即无差异曲线的斜率为负值），且无差异曲线是以凸向原点的形状向右下方倾斜的，即无差异曲线的斜率的绝对值是递减的（这取决于商品的边际替代率递减规律）。
如图9－2所示，无差异曲线U上的a、b、c、d、e、f各高点上的效用是一样的。
图9-2 一个无差异曲线示意图
9.2.2.2 风险厌恶程度（第二个性质）
投资者对风险的厌恶程度有三种可能性：风险厌恶、风险中性、风险追逐。这种风险态度可用一个公平的变数来说明。
【例题2】 讨论表9－4所示的变数（选择）。
表9-4 一个公平变数的例子
讨论：
（1）风险厌恶意味着投资者会拒绝一个公平变数，即效用函数对财富的二阶导数是负数。
如果投资者偏好不投资，则不投资的期望效用必然大于投资的期望效用，即：
U（1）＞（1/2）U（2）＋（1/2）U（0）
整理得到：U（1）－U（0）＞U（2）－U（1）
一个函数，若新增加一个单位的价值低于上一个增加单位的价值，这样的函数的二阶导数就是负数。
（2）风险中性是指投资者不在意是否是一个公平的变数，即效用函数对财富的二阶导数是零。
如果投资者不介意是否投资，则投资的期望效用必然等于不投资的期望效用，即：
U（1）＝（1/2）U（2）＋（1/2）U（0）
整理得到：U（1）－U（0）＝U（2）－U（1）
一个函数，若新增加一个单位的价值等于上一个增加单位的价值，这样的函数的二阶导数就是零。
（3）风险追逐投资者愿意选择一个公平的变数，即效用函数对财富的二阶导数为正。
风险追逐投资者愿意投资，则投资的期望效用必然大于不投资的期望效用，即：
（1/2）U（2）＋（1/2）U（0）＞U（1）(www.xing528.com)
整理得到：U（2）－U（1）＞U（1）－U（0）
如果变量值越大，单位变化带来的价值变化越大，具备这种性质的函数的二阶导数就是正数。
根据上述讨论，我们可以把投资者的风险态度总结为表9－5所示的结果。
表9-5 对风险态度的含义
如投资者能说明他们对公平变数的态度，就可以大大缩小他们考虑的风险投资的集合，如图9－3所示。
图9-3 偏好函数与无差异曲线
（a）财富效用空间下的偏好函数；（b）期望收益—标准差空间下三种效用函数对应的无差异曲线
9.2.2.3 投资者偏好变化相对于财富变化的假设（第三个性质）
（1）投资于风险资产的绝对额变化。
如果投资者财富增加后，提高了风险资产的投资，就称为递减绝对风险厌恶；
如果投资者财富增加后，对风险资产的投资不变，就称为固定绝对风险厌恶；
如果投资者财富增加后，减少了风险资产的投资，就称为递增绝对风险厌恶。
设用A（W）度量投资者的绝对风险厌恶，则有（推导略）：
绝对风险厌恶相对于财富的变化情况，如表9－6所示。
表9-6 绝对风险厌恶相对于财富的变化情况
（2）投资于风险资产的百分比变化。
如果投资者财富增加后，提高了风险资产的投资比例，就称为递减相对风险厌恶；
如果投资者财富增加后，对风险资产的投资比例不变，就称为固定相对风险厌恶；
如果投资者财富增加后，减少了风险资产的投资比例，就称为递增相对风险厌恶。
设用R（W）度量投资者的相对风险厌恶，则有（推导略）：
相对风险厌恶相对于财富的变化情况，如表9－7所示。
表9-7 相对风险厌恶相对于财富的变化情况
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