数值例子的求导和研究结论的一致性证实

取cH＝1，cL＝2，代入优化问题[P4.1]中，得

可以发现，高能力者的参与约束是松的，可以去掉，理由如下:

(PC-H)左边等于(IC-H)左边，而(IC-H)右边大于(IC-L)左边，(IC-L)左边等于(PC-L)左边，从而，(PC-H)是松的。

因此，优化问题[P4.2]可以做如下简化:

由于(IC-L)与(IC-H)不可能同时为松，否则，可以同幅度下降最低报酬来增大目标函数，因此，可以分以下三种情况对其进行讨论。

1.(IC-L)紧(IC-H)松

(1)当(PC-L)为紧时

优化问题[P4.3]即为

对(4.29)式中的ΔwHH与ΔwLL分别求导，得

和

把(4.30)、(4.31)式代入优化问题[P4.2]的条件中，可以发现，(IC-H)不为松，与前提条件矛盾!此时无解。

(2)当(PC-L)为松时

优化问题[P4.3]即为

对其进行求解。

把约束条件(IC-L)代入目标函数，化简，得

对其中的ΔwHH求导，得

再对目标函数化简，得

对ΔwLL求导，得

把(4.33)与(4.35)式代入约束条件(IC-L)中，得

把(4.33)、(4.35)与(4.36)式代入决策问题[P4.2]的条件(IC-H)、(PC-H)和(PC-L)中，可以发现(IC-H)并不为松，与前提条件矛盾!此时无解。

2.(IC-L)松(IC-H)紧

(1)当(PC-L)为紧时

优化问题[P4.3]即为

对其进行求解。

代入目标函数，得

对ΔwHH与ΔwLL分别求导，得

和

把(4.38)与(4.39)式代入决策问题[P4.2]的条件(IC-H)、(PC-H)中，可以发现，条件不成立，与前提条件矛盾!此时无解。(www.xing528.com)

(2)当(PC-L)为松时

优化问题[P4.3]即为

对其进行求解。

把约束条件(IC-H)代入目标函数，得

对ΔwHH求导，得

再对目标函数化简，得

对ΔwLL求导，得

把(4.41)与(4.42)式代入约束条件(IC-H)中，得

把(4.41)、(4.43)与(4.44)式代入优化问题[P4.2]的条件(IC-L)、(PC-L)和(PC-H)中，可以发现(IC-L)并不为松，与前提条件矛盾!此时无解。

3.(IC-L)紧(IC-H)紧

(1)当(PC-L)为紧时

优化问题[P4.3]即为

对其进行求解。化简，得ΔwLL＝0.92ΔwHH。代入目标函数，得

代入优化问题[P4.2]的条件(PC-L)中，可以发现，条件成立。于是，再分别代入约束条件和目标函数，可得

因此，此时的最优解，对低能力者的锦标激励工资结构为wL-LL＝-0.585和ΔwLL＝1.56，对高能力者的锦标激励工资结构为wL-HH＝-0.49866和ΔwHH＝1.7，委托人的期望利润为ERp＝0.79。

(2)当(PC-L)为松时

优化问题[P4.3]即为

对ΔwHH求导，可以求得

和

代入优化问题[P4.2]的条件中，(IC-H)不成立。与前提条件矛盾!此时无解。

综合以上三种情形，唯一的最优解为:对低能力者的锦标激励工资结构为wL-LL＝-0.585和ΔwLL＝1.56，对高能力者的锦标激励工资结构为wL-HH＝-0.49866和ΔwHH＝1.7，相应的委托人的期望利润为ERp-asym＝0.79。

在非对称信息下，委托人从两个高能力与两个低能力者处获得的最大期望利润为0.79。

而在对称信息下，由(3.15)和(3.19)式可知，委托人通过分类竞赛从两个高能力与两个低能力者处获得的最大期望利润为

由(3.37)式可知，委托人通过混同竞赛从两个高能力与两个低能力者处获得的最大期望利润为

比较可知，委托人在对称信息条件下通过分类竞赛获得的期望利润最大。

因此，委托人更希望代理人在对称信息条件下进行工作。这解释了人力资源管理中经常面临的一个现象，在能力信息非对称的条件下，代理人在工作中付出多少努力，委托人就付给他多大报酬。但是，通常情况下，委托人并不知道代理人到底付出了多少努力，只能根据其他表现来得知。比如:一个运气不好但工作总是很努力的人，有可能他就拿不到他所满意的报酬；而一个运气很好工作却不怎么努力的人却有可能拿到超出自己意外的报酬；这一不公平导致了现实生活中常说的“无功劳却有苦劳”现象的发生。为了避免这种现象的发生，委托人就不得不采取其他措施，如监督，但这会导致委托人付出更多的成本从而减少他的利润。这证实了以上研究结论，也与上一章的研究结论一致。