学生与学校双边匹配问题的优化方案

（1）美国公立学校择校问题

①纽约公立高中学校录取机制

纽约的数百所公立高中学校每年负责几万名学生的招生录取工作，他们在招生方式、录取机制及确定学生录取的优先权等方面享有充分的自主权。纽约公立学校原有的招生系统采用的是纸质化的人工操作方式。首先，每个初中毕业生在家长的协助下，填报5所他们最想去的高中学校，并把志愿表格投递给教育部门，教育部门把收集到的学生志愿信息通知给学校；然后，学校采用抽签方式录取学生或选择谁被录取，谁处于候补名单；学校做出选择后，教育部门通知学生被哪些学校录取或处于哪些学校的候补名单。学生根据教育部门反馈的录取信息，可以最多接受一个录取他们的学校和一个候补学校，如果学生同时被多所学校录取，那么学生可以根据自己的偏好接受一所录取他们的学校，也可以拒绝所有录取他们的学校，而选择一个候补学校（学生认为录取他的学校不如把自己列为候补名单的学校）。在第一轮中被学生拒绝的学校可以补录其他学生，教育部门开始第二轮向学生发送信函，学生作出选择后，教育部门还有第三轮也是最后一轮的录取。第三轮没有被录取的学生由教育部门直接分配学生到距离他们家最近的学校。

纽约公立学校采用的这个复杂招生系统耗费了学生和学校大量时间，招生录取效率十分低下，并且录取的结果非常糟糕，每年都有大量的学生经过第三轮后仍然没有被任何一所高中录取，他们只能被动地被分配到一所他们不感兴趣的学校。此外，学校在招生过程中可能会预留一些名额进行私下招生，从而一些学生家长将有动机通过不光彩的手段获得录取名额，因此，纽约公立学校的这个招生系统是不透明、存在灰色地带的，很容易滋生腐败现象。

②波士顿公立学校录取机制

纽约公立学校原有录取机制存在的最大问题是市场的堵塞问题，波士顿公立学校很早就采用了基于立即接受算法的计算机择校系统，该市场不存在堵塞问题，但却存在着策略操纵的问题。波士顿公立学校录取学生主要依据学生的优先权，学校首先将优先权给予那些有哥哥或姐姐在这个学校读书的学生；然后，优先权分配给居住在学校周边的学生，具有同一优先权的学生会根据所分配给他们的一个随机数字来确定录用顺序。波士顿公立学校录取工作由教育部门下属的一专门办公机构负责，录取流程如下：每个学生根据自己对学校的偏好给出一个至少包含三个学校的偏好列表，并把偏好信息提交到波士顿公立学校择校系统，系统根据学生信息会自动计算学生的优先权；首先，立即分配算法会把尽量多的学生分配到他们第一选择的学校，如果学校招生名额少于第一选择他们的学生数量，学校将按照学生的优先权顺序进行录取，直到招满，拒绝剩余的学生；然后，立即接受算法会把剩余学生尽可能多地分配到他们的第二选择学校，剩余学生再按照第三选择学校进行录取，最终没有被录取的学生将被分配到仍有空余位置且学校距离他们家最近的学校。

③中国高考录取问题

中国大学录取中的学生与学校匹配问题是世界上规模最大、最复杂的匹配问题，通常被称为高考录取问题。在中国的高考录取中，首先，学生在高考考试分数公布之前或者公布之后向省招生办公室提交个人的高考志愿，高考志愿是学生对不同大学的偏好排序；然后，省招生办公室依据考生的分数和学校招生计划划定最低录取分数线；最后，学校根据学生的分数和学校的招生计划来录取学生。长期以来由于学生自身填报志愿不当、高考志愿填报方式等因素的影响，高考录取中出现了“高分低就”甚至“高分落榜”的现象[10-12]。因此，如何制定合理的高考录取机制实现高等教育资源的最优分配，提高高考录取机制的稳定性、公平性和匹配效率，一直是高考录取的核心问题。(www.xing528.com)

（2）学生与学校匹配相关研究

①国外大学录取研究

Dubins和Freedman（1981）[116]以大学录取问题为背景研究了Gale-Shapley算法中的联盟博弈问题，证明了学生不可能通过提供虚假偏好获得更好的匹配结果，并且如果学生联盟之外的其他匹配主体提供真实偏好，那么不存在学生联盟能同时提高联盟中所有学生的匹配结果。Roth（1985）[117]研究了大学录取问题与婚姻匹配问题之间的关系，指出大学录取问题并不等同于婚姻匹配问题，婚姻匹配问题中的许多结果与性质并不能简单地推广到大学录取问题，比如，不存在稳定匹配机制使得大学揭示真实偏好是一个占优策略，一些匹配结果可能比大学最优稳定匹配更优。Sotomayor（1998）[118]研究了大学录取市场中的合作博弈问题，提出了一类将申请者集合分配到大学集合的稳定匹配机制，研究表明非合作博弈可以被认为是一个获得合作结果的过程，每个策略均衡结果都在合作市场博弈的核中。Balinski和Sönmez（1999）[119]研究了土耳其的大学录取机制，指出土耳其当前采用的多类别序列独裁机制存在许多严重缺陷，该机制既不是帕累托有效的，也不是防操纵的，研究认为Gale-Shapley学生最优机制对土耳其大学录取而言是可以采用的最好机制。Milgrom（2003）[23]指出当大学具有替代性偏好时，学生发出申请的延迟接受机制（SA-DAA）不是一个激励相容机制，即对所有学生而言，提交真实偏好并不是一个占优策略。Abdulkadiroˇg lu（2005）[124]研究了具有机会均等行动计划的大学录取问题，指出当每个大学的偏好对可接受学生的集合满足响应性时，学生发出申请的延迟接受机制对每个学生而言揭示真实偏好是一个占优策略。Chen和Sönmez（2006）[120]通过实验方法研究了波士顿机制、Gale-Shapley机制和顶级交易循环机制三种学校选择机制，研究表明波士顿机制具有更高的偏好操作率，而且波士顿机制的效率远远低于另外两种机制，Gale-Shapley比顶级交易循环机制具有更高的效率。在学校选择机制中，基于学生考试分数的学校优先机制并不能真实揭示学生的能力，事后公平匹配机制由于不是事前公平的往往不是人们所期望的，Lien等（2017）[126]提出了一个改进事前公平的波士顿机制，由学生知道考试分数之前提交他们的偏好，这种机制是完全事前公平的，并可以将具有高能力的学生匹配到更好的学校。

②中国高考录取研究

Chen和Kesten（2013）[121]首次采用理论和实验方法研究了中国大学录取中的平行选择机制，对波士顿机制、Gale-Shapley机制和平行选择机制进行了系统比较，实验结果表明平行选择机制的稳定性和防操纵性要高于波士顿机制，Gale-Shapley机制仍然是三种机制中稳定性和防操纵性最好的。Zhu（2014）[122]从机制设计的角度研究了中国大学录取机制的演化，通过对理论和实验机制设计文献的综述发现，在中国采用的顺序选择机制和平行选择机制分别等同于具有无差异偏好的波士顿机制和简单序列独裁机制，研究表明简单序列独裁机制消除了合理嫉妒，是防操纵和帕累托有效的，这表明近年来中国大学录取从顺序选择机制转变为平行选择机制的合理性。Bo（2019）[125]等采用2005—2011年中国大学录取数据研究了高考录取问题，提供了中国大学录取从采用波士顿机制到平行机制（延迟接收机制的简化）过渡的实证证据，并研究了学生在获得高考成绩信息时提交大学偏好对大学与学生匹配结果的影响。聂海峰（2007）[11]分析了高考招生中考后知分报考录取机制下的志愿填报博弈，研究表明完全信息下的显示偏好博弈只有唯一的纳什均衡结果，且均衡是帕累托有效和公平的，此外，他指出在Gale-Shapley学生最优机制下，学生提交真实偏好是学生的优势策略，并且结果也是帕累托有效和公平的。在文献[132]中，聂海峰研究高考录取机制中用分数录取的效率问题，研究表明录取机制不是分数公平的机制，所以考生显示的志愿并不一定是他真实的偏好；如果使用分数公平的录取机制，填报真实偏好就是考生的最优策略，不仅使得填报志愿变成一件简单的事情，最后的高考录取结果也是帕累托有效的。聂海峰和张琥（2009）[130]对“平行志愿”录取机制引起的福利效应和考生填报策略有关问题进行了研究，研究表明相对于传统的“志愿优先”录取机制，“平行志愿”录取机制对全体考生来说不是帕累托改进，增加考生可以填报的志愿学校数对低分考生不利，计算了考生信念是均匀分布时不同考生的均衡策略和在均衡中的录取概率分布。李凤（2010）等[127，128]根据目前国内高考招生录取制度设计出一个理论模型，运用模拟法和计量分析法比较分析了志愿填报时间和录取机制对考生和高校的影响，研究发现对考生而言，知分填报优于估分填报，估分填报优于考前填报，但估分填报和知分填报的“高分低录”和“高分落榜”现象较考前填报更严重。从高校招生规模和第一志愿录取人数角度讲，考前填报虽然最不利，但从招生质量来说，考前填报优于知分填报，知分填报优于估分填报。魏立佳（2011）[129]针对中国高等学校录取中学生可能存在弱偏好序的情形，设计了“挤出”匹配算法，并证明该算法满足稳定、抗操作和帕累托最优性，且匹配后学生总效用最高，通过计算机模拟证实“挤出”算法确实能显著改进匹配效率，且主要改善优先序排名较后的学生的效用；在两批次高考志愿录取模拟中，“挤出”算法使学生总效用最高，能同时保证“高分低就”率和“高分落榜”率最低。李坤明（2010）[12]分析了我国高考录取环境中平行志愿的优势和存在问题，提出了在非完全的信息环条件下，平行志愿录取机制的一个改进思路并证明了改进的录取机制具有避免高分低录、录取结果满足公平性、无浪费、抗策略性和帕累托有效性等优良性质。朱琳（2010）[131]以中国现行的高考录取机制为研究对象，通过实验研究表明，在志愿优先、平行志愿和Gale-Shapley学生最优稳定三种匹配机制中，真实偏好揭示率和效率水平越低的机制，相对于信息量的变化越敏感；随着信息量的增多，在平行志愿录取机制下，效率水平的变化对可报考数量的变化逐渐变得不明显。冯科等（2016）[133]依据双边匹配理论现有成果，以大学招生模型为基础，从个人理性、帕累托最优等5个方面对我国研究生调剂的最优性进行了考察，研究结果表明，研究生调剂体系理论上未达最优，现实情况更为严峻，未来仍需深入完善。

（3）评述与展望

学生入学问题是家长最为关注的一个重要问题，也是许多家长为之烦恼的社会问题。幼儿园入园、小学就读、初高中学校选择、高考录取等从孩子2、3岁到17、18岁如何为孩子选择尽量好的学校就读，让全世界的家长们操碎了心。学生不仅寄托了一个家庭的希望，也是一个国家民族发展的重要驱动力，学生入学作为一个十分敏感的社会问题，时刻牵动着人们的心，比如每年中国的高考都是国民津津乐道的话题，包括高考考试科目、考试试题的难易程度、录取分数线的高低、高考状元、高考录取规则等。学生入学问题是一个典型的双边匹配问题，学生对不同学校的偏好不同，学校对学生已有一套自己的选择办法，如何满足学生家长与学校双方的需求，采用一套合理的、公平的、有效的匹配机制解决这个社会难题，是许多经济学家、政治学家、管理学家等梦寐以求的。目前关于学生与学校匹配问题研究比较多的是纽约公立高中学校录取、波士顿公立学校录取及中国的高考录取问题，重点研究了Gale-Shapley机制、序列独裁机制、波士顿机制、顶级交易循环机制、平行选择机制等在公平性、防操纵性、帕累托有效性等方面的优劣。匹配机制没有绝对的优劣之分，如何根据不同国家、不同地区的实际情况和具体需求，因地制宜设计一套符合实际需求的录取机制是一个需要重点关注的问题。