对话式讲解中的关系性理解优化方法

知识意义的真正生成必须由工具性理解上升到关系性理解。关系性理解指对符号的意义和替代物本身结构上的认识，获得符号指代物意义的途径，以及规则本身有效性的逻辑依据等。[3]即关系性理解是“知其所以然”和明白“为什么这样做”。本教学中，据案自学只初步形成了平方差公式的工具性理解——“知其然”和“怎样做”，而对“为什么这样做”并不明白。要获得对平方差公式的关系性理解，还需与他人进行对话交流，通过各种视域的融合才能完成。这就是DJP教学的第二个环节——对话性讲解。

学生根据学案自学十分钟后，各组便自发地在组内进行交流讨论，教师也参与其中，待热烈讨论平息之后，教师再根据学习内容分配各组讲解任务，组织学生在全班进行对话性讲解。对话性讲解是指学生个体或学习小组围绕某个学习主题，面向全班展示、表达、解释自己或小组讨论的观点、想法与发现等，教师与其他学生通过倾听、提问、质疑、评价等与之交流互动的学习活动过程。

【片段1】（公式获得的对话性讲解）

师：现在由第一组讲解“公式是怎样获得的”。

生1：我们认为，利用多项式乘多项式的法则就可以推导得出公式（边讲边在黑板上写出推导的内容：（a+b）（a-b）=a（a-b）＋b（a-b）＝a2-ab+ab-b2＝a2-b2）。

师：你怎么一开始就想到了（a+b）（a-b）？

生1：……（感到茫然，不知所措）

师：你们组哪位能够说出公式是怎样获得的？（组内学生都有点束手无策，有的看着黑板在思考，有的看着老师，有的埋头不语）没有关系，你是怎么想到的就怎么说吧！

生：……（仍然没有学生能够讲解，都限于沉默之中，这时班上有些学生在窃窃私语，但全班没人能够回答）

师：请同学们再看教材，书上先给出了四个计算题，再要求观察四个特殊的例子的规律，然后猜想得出一般结论。刚才生1讲的是公式的推证。值得注意的是，公式的证明很重要，而猜想得出公式更重要。数学中很多公式定理都是先猜想再证明而获得的。猜想是科学发现的重要方法，正如著名科学家牛顿所说“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现”，同时猜想也是数学学习的重要方法，同学们在数学学习的过程中要多进行观察猜想哦。

【知识生成分析】在上述对话性讲解中，学生运用的是多项式乘法法则进行公式推演进行公式的表征，而没有公式的获得过程。这是由于当学生翻开教材时，首先映入眼帘的是十分显眼的公式（教材用黑体和背景凸显了公式），于是便失去了计算四个算式并进行观察猜想的需要，没有按教材和学案的设计去经历四个算式的计算并观察其特征，而是直接看书上的公式并进行推演，从而导致了教师问“你怎么一开始就想到了（a+b）（a-b）？”时学生无言以对的状况。凡是没有亲历观察和探究的过程，往往也就不会“知其所以然”，因而也就不能说明“为什么”，因为这时他们既没能形成联结性经验，也没能生成知识的内部语言，使得讲解所需的外部语言的生成缺乏基础。这时，教师根据学生的情况确定讲解的内容，引导学生回到教材，观察四个算式，从特殊到一般，归纳猜想得出公式。在这种对话性讲解中，学生弄清了公式的来龙去脉，感受到了其中的数学思想方法。

【片段2】（公式结构特征认识的对话性讲解）

生2：我们组讲的内容是公式的结构特征。我们认为平方差公式的结构特征就是两数和与两数差的积等于它们的平方差，因为两个数由相同字母的平方减去相反数的平方。

师：（感到学生对结构特征理解不够，进行提示）公式的结构就是公式是由哪些部分组成的？公式的特征就是公式有何特点？

生2：左边是两个字母相加，右边是两个字母相减（说完不敢肯定，马上转向老师，期待老师的评判，这时其他学生也感到有些不对，七嘴八舌议论开来）。

师：把括号看成一个整体，左边是什么形式？

生2：左边是两个多项式相乘，右边是用相同字母的平方减去……（心里明白，说不清楚）

师：还有没有其他同学补充？(www.xing528.com)

生3：右边是利用多项式的法则计算出来的结果（不敢肯定，回头看着老师）。

生4：特点就是有一组是相等的数，如a和a就是相等的数。另一组必须是互为相反数，b与-b。

师：（学生只说出了字母的特点，没有说明字母之间的关系，于是提问）而且都必须是什么？

生4：都必须是二项式。左边是两个二项式相乘，右边是差，平方差。

师：哪个的差？随便写一个差行不行？如，能不能这样：（3x＋2y）（3x-3y）=（3x）2-（2y）2或者（3x）2-（3y）2？

生（众）：不行！七嘴八舌指出错误。

生4：数不相同，一个是2y，一个是3y。

师：哦，3x和3x相同，2y和3y不同，2y与-3y也不是互为相反数（在相应部分划线），它们不具有公式的特点。还有没有补充的？

生4：必须是相同的数的平方差。

生5：左边是两个数的和与这两个数的差相乘。

师：哦，两个数的和乘以两个数的差（学生容易忽略“这”字的含义，这时教师有意装着听错），我们看（x+y）（a-b），是不是两个数的和乘以两个数的差，能用公式吗？

生6：不能！应该是两个数的和乘以这两个数的差。这里的“这”指的是前面的两个数，不是另外的两个数。

师：好，现在我们来总结公式的特点。公式的特点是：公式的左边是两个二项式相乘，或者是可以转化为两个二项式相乘的形式，这两个二项式的第一项必须是什么？

众生：相同的数！

师：另一项是什么？右边呢？

生7：另一项必须是“互为相反数”，公式的右边是相同项的平方减去互为相反数的平方。

【知识生成分析】在上述的对话性讲解中，学生对平方差公式结构特征意义的生成经历了一个师生视域融合的过程。教师对平方差公式结构特征的视域为“公式的左边是两个二项式相乘，或者是可以转化为两个二项式相乘的形式，这两个二项式有一项相同，另一项互为相反数，公式的右边是相同项的平方与相反数项的平方差”。而学生的“原初视域”是“两数和与两数差的积等于它们的平方差”，与教师的视域存在较大的差距。通过师生、生生相互的对话、解释，师生的视域不断交融、扩大和丰富，最后达成了共享的意义世界。在这一对话性讲解的过程中，学生对平方差公式的结构特征由开始模糊的认识逐渐到明确的、清晰的认识，明白了运用公式时“为什么这样做”的道理，从而对公式的理解由工具性理解上升到关系性理解，为正确快速运用公式打下了坚实的基础。