费马原理：几何光学中的基本定律和光传播规律

费马（P.de Fermat）通过对几何光学的研究，于1657年提出：一束光（光线）在两点间实际经历的路径，是以最短时间经过的那一条路径。费马的说法可以概括几何光学的基本定律，后来叫作费马原理。费马原理概括了几何光学的基本定律，便于说明光波在非均匀介质中传播的规律。尤其是，费马原理与力学的最小路径原理相似，可以说是在更高的层次上说明了几何光学的规律。但是费马原理的表述是不完善的，需要导出更恰当的表述方式。

在非均匀介质中光波的波线可以是曲线。在波线上任选一点O为原点，以波线上任一点到O点的路程l作为该点的坐标（曲线坐标）。设在一条波线上有坐标为l和l＋Δl两点，只要Δl足够小，则可以认为在这段路径上有均匀的折射率n和波速v：

费马原理是几何光学中的一条重要原理，由此原理可证明光在均匀介质中传播时遵从的直线传播定律、反射和折射定律，以及傍轴条件下透镜的等光程性等。光的可逆性原理是几何光学中的一条普遍原理，该原理说，若光线在介质中沿某一路径传播，当光线反向时，必沿同一路径逆向传播。费马原理规定了光线传播的唯一可实现的路径，不论光线正向传播还是逆向传播，必沿同一路径。因而借助于费马原理可说明光的可逆性原理的正确性。光在任意介质中从一点传播到另一点时，沿所需时间最短的路径传播。

一束光在折射率为η的介质中通过的路程为S，其折射率η与路程S的乘积nS称为这束光的光程，用表示

费马指出，光在指定的两点间传播，实际的光程总是一个极值。也就是说，光沿光程值为最小、最大或恒定的路程传播。这是几何光学中的一个最普遍的基本原理，称为费马原理。其数学表达式如下：(www.xing528.com)

在一般情况下，实际光程多数情况下取极小值，费马本人最初提出的也是最短光程。不难看出，根据直线是两点间最短距离这一几何公理，在均匀介质（或真空）中，费马原理直接引导到直线传播定律。当光通过两种不同介质的分界面时，根据这一原理还可以导出光的反射定律和折射定律。

光沿ACB曲线从A点传播到B点所需时间为费马原理指出了光传播的实际路径，这是一条所需时间τ为极小值的路径。实际上τ除取极小值外，还可取极大值或稳定值，总之，τ应取极值。光在介质中传播时，光传播的几何路程与介质折射率的乘积称为光程。上式中的积分就是光沿ACB曲线从A点传到B点的总光程。故费马原理也可表述为光传播的实际路径是使光程取极值（极小值、极大值或稳定值）。

光程取极值的条件为光程的一阶变分等于零，即此即费马原理的数学表达式。费马原理是几何光学中的一条重要原理，由此原理可证明光在均匀介质中传播时遵从的直线传播定律、反射和折射定律，以及傍轴条件下透镜的等光性等。光的可逆性原理是几何光学中的一条普遍原理，该原理说，若光线在介质中沿某一路径传播，当光线反向时，必沿同一路径逆向传播。费马原理规定了光线传播的唯一可实现的路径，不论光线正向传播还是逆向传播，必沿同一路径。因而借助于费马原理可以说明光的可逆性原理的正确性。

假设光从介质n1入射到介质n2。在两个介质的交界面上取一条直线为x轴，法线为y轴，在入射光线上任取一点A（x1，y1），光线与两介质交界面的交点为B（x，0），在折射光线上任取一点C（x2，y2）。