6.1.2.1 计量回归模型设定
数据是为2001～2017年31个省份的面板数据，横截面数值大于时间序列数值，是一个短面板数据，因此，考虑对面板数据的混合回归模型、固定效应回归模型、随机效应回归模型进行检验，以判断哪一种回归模型比较合适。首先，固定效应回归模型的F检验结果显示其对应的显著性水平p值为0.0000，所以，可以拒绝使用混合回归模型的假设，认为固定效应回归模型显著的优于混合回归模型。其次，随机效应回归模型的LM检验结果也显示其对应的显著性水平p值为0.0000，同样，也可以拒绝使用混合回归模型的假设，认为随机效应回归模型显著的优于混合回归模型。最后，对固定效应回归模型和随机效应回归模型进行Hausman检验，Hausman统计量的显著性水平p值为0.0000，所以也可以认为固定效应回归模型显著的优于随机效应回归模型。因此，本节的基准回归模型将是固定效应回归模型，其计量回归模型的设定为如下形式：
其中，被解释变量totalit表示总养老金，α为常数项，解释变量retirei表示退休人数，β为解释变量的系数，向量Xit表示一系列控制变量，向量γ为控制变量的系数，ui用于控制不同省份的固定效应对总养老金的影响，εi表示随机误差项，假设随机误差项是独立同分布，且与固定效应ui不相关。接下来，计量回归采用的软件都是STATA14.0.
6.1.2.2 基准回归结果
表6-2分别列出了普通最小二乘混合回归模型（OLG）、固定效应回归模型（FE）以及随机效应回归模型（RE）不包含控制变量以及包含控制变量的6个回归模型结果。根据上一小节的模型检验可知，固定效应回归结果相对好些，所以，表中第五列的固定效应回归作为基准回归。从表6-2中可以看出，不包含控制变量的OLS回归、FE回归以及RE回归与包含控制变量的OLS回归、FE回归以及RE回归相比，退休人数的符号发生了变化，说明不包含控制变量的3个回归缺少了重要的解释变量，回归结果是有偏误的。包含控制变量的FE回归与RE回归相比，各变量的符号均表现为一致，核心解释变量的数值也相差不大。根据基准回归结果，退休人数对总养老金具有显著的负向影响，符合上一章的理论模型分析结果，其系数在5%的水平上显著，系数值为-1.8，数值上表明如果退休人数上升1%，则总养老金将会下降1.8%，这说明退休人数对总老金的影响是富有弹性。在控制变量中，人均GDP和GDP对总养老金具有显著的负向影响，在职人数、二产增值以及三产增值对总养老金具有显著的正向影响，而出生率对总养老金则是呈现不显著的正向影响，抚养比对总养老金呈现不显著的负向影响。
表6-2 基准回归结果（累计结余）
注：括号内表示系数的标准差，上标***p＜0.01、**p＜0.05、*p＜0.1分别表示1%、5%和10%水平显著。下同。
6.1.2.3 稳健性检验(www.xing528.com)
对基准回归模型进行稳健性检验。首先，将控制变量依次逐个加入到固定效应回归模型中，直至所有控制变量均加入回归，其回归结果如表6-3所示。从表6-3可以看出，退休人数、人均GDP、在职人数、GDP、二产增值和三产增值的加入对拟合优度R2数值变化具有较大地影响，而出生率和抚养比的加入对拟合优度数值变化影响很小，退休人数、人均GDP、在职人数、GDP、二产增值和三产增值其显著性水平一直都是比较显著，表明这些变量对总养老金具有显著的影响。退休人数在加入在职人数后，其系数由正转为负，此后一直表现为负，且至少可以通过5%的显著性水平检验。从表中也可以看出，退休人数的系数绝对值一直都是大于1，其数值的变动幅度也相对人均GDP而言要小很多。人均GDP系数在加入了GDP之后的系数、GDP系数在加入了二产增值之后的系数、二产增值系数在加入了三产增值之后的系数变化幅度都发生了比较大的改变，这说明人均GDP、GDP、二产增值以及三产增值之间存在较强的相关性，这也比较符合实际情况。总体而言，固定效应的逐步回归检验显示，退休人数对总养老金的负向影响结果是比较稳健的。
表6-3 固定效应的逐步回归（累计结余）
其次，为了考虑面板数据可能存在组间异方差、组间同期相关或组内自相关，接下来，将回归估计方法改变为面板校正标准误差（PCSE）和可行广义最小二乘法（FGLS）进行估计，其中，面板校正标准误差可以减轻组间异方差和组间同期相关造成的估计偏误，可行广义最小二乘法可以同时减轻组间异方差、组间同期相关以及组内自相关造成的估计偏误。考虑面板数据可能存在一阶自相关，即：
其中，-1≤ρi≤1，{vit}为独立同分布且期望为0。分别考虑ρi=ρ的情形以及每个面板都有自己ρi的情形，在回归中对应的选项分别是：ar1和psar1（panel-specific ar1）。
在表6-4中，第二和第四列分别对应的是面板校正标准误差的ar1和可行广义最小二乘法的ar1，第三和第五列分别对应的是面板校正标准误差的psar1和可行广义最小二乘法的psar1。解释变量t表示时间因素，只是该因素在4个回归结果中，系数都没有通过10%的显著性检验，说明时间因素对总养老金影响不显著。从表6-4中可以看出，4个回归结果的所有解释变量系数符号均一致，且系数符号也与基准的固定效应回归结果一致。核心解释变量退休人数都是显著的负向影响总养老金，只是显著性大小存在区别，两个面板校正标准误差回归显示退休人数的系数可以通过10%的显著性水平检验，而两个可行广义最小二乘法回归则可以通过5%的显著性水平检验，与基准回归表现一致。退休人数的系数数值在这4个回归中差异不大，在-2.340至-2.193之间，其绝对值略大于基准回归。这表明，采用PCSE回归和FGLS回归，退休人数对总养老金呈负向影响，且影响也是富有弹性的，退休人数增加1%，养老金总额会下降约2%。在控制变量中，4个回归结果均显示，人均GDP和GDP对总养老金具有显著的负向影响，在职人数、二产增值以及三产增值对总养老金具有显著的正向影响，而出生率和抚养比对总养老金则影响不显著，只是不同的回归之间一些变量系数的显著性水平存在略微差异。
表6-4 PCSE回归和FGLS回归（累计结余）
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