行星轨道从经验中算出来了，下一步要弄清楚的问题是行星运动究竟遵循什么数学定律？
乍看，第一个问题解决后，搞清楚第二个问题该是轻而易举的事。然而你马上就会看到，要从经验的数据里推出运动定律要比解决第一个问题艰巨得多。
开普勒首先需要了解行星轨道所描出的曲线的几何特征是什么？为此，他必须先作某种假设，然后把它用到一大堆数字上去试试，看它是否能同第谷的数据吻合。如果不是，再找另外的假设进行探索，直到合乎观测事实为止。
开普勒的目光首先盯住火星。这是因为第谷的数据中对火星的观测占有最大篇幅。恰好，就是这个行星的运行与哥白尼理论出入最大。开普勒按照传统的偏心圆来探求火星的轨道。他作了大量尝试，每次都要进行艰巨的计算。在大约进行了70次的试探之后，开普勒才算找到一个与事实相当符合的方案。使他感到惊愕的是，当超出他所用数据的范围继续试探时，他又发现与第谷的其他数据不符。火星还是不听他的摆布……。
开普勒诙谐地写道：“我预备征服战神马尔斯，把它俘虏到我的星表中来，我已为它准备了枷锁。但是我忽然感到胜利毫无把握……，这个星空中狡黠的家伙，出乎意料地扯断我给它戴上的用方程连成的枷锁，从星表的囚笼中冲出来，逃往自由的宇宙空间去了。”
开普勒计算出来的火星位置和第谷数据之间相差8分，即1．133度（这个角度相当于表上的秒针在0．02秒瞬间转过的角度）会不会是第谷弄错了呢？或是寒冷的冬夜把第谷的手指冻僵了，以致观测失误了呢？不会！开普勒完全信赖第谷观测的辛勤与精密，即使是这样微小的数值，第谷也是不会弄错的。他说：“上天给我们一位像第谷这样精通的观测者，应该感谢神灵的这个恩赐。一经认识这是我们使用的假说上的错误，便应竭尽全力去发现天体运动的真正规律，这8分是不允许忽略的，它使我走上改革整个天文学的道路。”可见，这两位天文学大师的工作在当时已达到何等惊人的精确性！当开普勒意识到始终无法找出一个符合第谷观测数据的圆形轨道后，他就大胆摒弃这种古老的、曾寄希望的匀速圆周运动的偏见，尝试用别的几何曲线来表示所观测到的火星的运动。开普勒认为行星运动的焦点应在施引力的中心天体——太阳的中心。从这点出发，他断定火星运动的线速度是变化的，而这种变化应当与太阳的距离有关：当火星在轨道上接近太阳时，速度最快；远离太阳时，速度最慢。他并且认为火星在轨道上速度最快与最慢的两点，其向径围绕太阳在一天内所扫过的面积是相等的。然后，他又将这两点外面积的相等性椎广到轨道上所有的点上。这样便得出面积与时间成正比的定律。
随后，开普勒看出火星的轨道有点像卵形（幸运的是，他首先选中火星，而火星轨道的偏心率在行星中比起来是相当大的），在连接极大与极小速度两点方向的直径似乎伸得长些。这样，终于使他认识到火星是在椭圆的轨道上运动。
椭圆是人们比较熟悉的几何图形。我们可以从木工师傅那里学到它的机械画法：在木板上先定出两个点，钉上钉子，取一段定长而无伸缩性的线，把它的两端固定在钉子上，用铅笔套在里面，然后把线拉紧，慢慢移动铅笔，这样画出来的曲线便是一个椭圆。
这个画法告诉我们，椭圆上的任何一点到两个定点的距离之和保持不变。它的数学定义便是：若平面上动点到两定点的距离之和是常量，动点的轨迹叫做椭圆。两个定点叫做椭圆的焦点，焦点之间的距离叫做焦距。椭圆的变化情形可用偏心率e来表示。椭圆的偏心率是它的焦距与它的长径的比率，e通常是用下式来表示的。
e＝
（c是半焦距，a是半长径）
∵c＜a，∴e＜1(www.xing528.com)
可以看出，焦距越大，e的值越接近于1，椭圆形状越扁；反之，焦距越小，e的值越接近于零，椭圆形状越变浑圆；当焦距为零，偏心率e＝0时，椭圆也就转化为圆。从这个意义上说，可以把圆看作是椭圆的一种特殊情形，即两个焦点重合的椭圆。
太阳系各个行星轨道的具体形状稍有不同。一般说来，它们的偏心率都很小，同圆形只有微小的差异。所以行星轨道可以近似地看作圆形，太阳的位置也可以近似地看作位于轨道的中心。这便是当年使开普勒绞尽脑汁的原因。
这一回又是几何学帮了天文学的大忙。假使没有古希腊人对圆锥曲线（平面截割圆锥所形成的曲线）的研究，这些美妙的定律也许不可能被发现。由于椭圆是圆锥曲线的一种，它那种圆而带扁的形状使开普勒想到火星可能在这样一种曲线的轨道上运动。跟着，利用古代几何学家对圆锥曲线寻找出来的许多性质，他肯定自己所作的假设是正确的，并将这两项发现推广到所有行星。
1609年，开普勒发表了《新天文学》一书和《论火星运动》一文，公布了两个定律：
（一）所有行星分别在大小不同的椭圆轨道上运动。太阳的位置不在轨道中心，而在轨道的两个焦点之一。
这是行星运动第一定律（也叫轨道定律）。
（二）在同样的时间里，行星向径在其轨道平面上所扫过的面积相等。这是行星运动的第二定律（也叫面积定律）。
开普勒虽然摒弃行星等速度运动的偏见，但仍维护这一原则，只是把线速度相等换了个“面速度”相等。这使开普勒感到分外高兴。有了这个定律，可以计算任何时刻行星在轨道上的位置。
这两个重要的定律相继发现后，编制星表一事便轻而易举了。不仅“行踪诡秘”的火星永远逃不出星表的“囚笼”，驯服地沿开普勒给定的椭圆轨道运行，其余各个行星也都相继“被俘”。
免责声明：以上内容源自网络，版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。
