《明安图的割圆密率捷法》：弧矢不祧之宗

天文学研究的基础学科是数学，明安图在这方面取得了更为突出的成就。他结合本职工作对数学进行了长期深入的研究，创立了割圆术。这一大放异彩的科学研究成果，由其弟子最后整理编成为《割圆密率捷法》一书。这部书在我国数学发展史上，占有重要的地位，并产生了深远的影响。

明安图进行深入钻研和探讨数学，大约是从雍正五年（公元1727年）开始的。他所以要发奋深研数学，是有其具体原因的。首先是他所从事的天文历法工作是和数学有着密切的关系的。数学是进行天文历法工作和研究的工具。诸如观测天体和星象；计算星球间的距离；计算星球的面积和体积以及测量太阳的高度等等，都是离不开数学的。为把天文历法工作搞得更好，研究得更深，就必须对数学有高深的修养。就这样，明安图在运用数学不断解决天文历法问题的时候，自然对数学逐渐产生兴趣，终于成为他所最酷爱的一门科学。此外还有一个重要因素，那就是他为了国家民族的尊严。正当明安图参与编写《律历渊源》一书的时候，由法国传教士杜德美将欧洲数学中的三个无穷极数传入中国，并由当时我国数学家梅觳成译成中文，称为“西士杜德美法”。这个方法实际上是格列高里和牛顿发现的，并不是杜德美所发现，仅仅是由他将其传入中国而已。当时只传来公式的证明。据说是杜德美有意“藏匿根数，秘而不宣”，“故作繁难，以炫异欺愚”的。明安图面对西洋人的这种故弄玄虚蔑视中国人的龌龊行为，感到极大的愤慨。决心以自己的研究成果来还击杜德美的挑战。

明安图深入钻研数学，是从探讨这三个无穷极数的根数开始的。他“欲自立一法，以观异同”。明安图以惊人的毅力坚持了对数学的研究。他不论严寒和酷暑，在京师还是在外地，在白日还是夜晚，年复一年地进行了持久的钻研和探索。就连他奉命到新疆测绘地图的时候，对数学的研究也从未间断过。就这样经过他自己“积思三十余年”，终于取得了前人所未曾取到的新成果。

明安图首先自己独立地论证了杜德美秘而不宣的“圆径求周”；“弧背求正弦”；“弧背求正矢”三个公式的“立法之原”，从而揭示了杜德美所“藏匿”的根数。他在钻研这三个公式的同时，自己又发现和创立了超越当时世界科学水平的六个新公式：即弧背求通弦；弧背求矢；通弦求弧背；正矢求弧背；矢求弧背。将原杜德美的三个公式和他新发现的六个公式相加起来，共为九个公式，后人通称为“九术”。明安图自豪地说：“以上九法，皆至精至密”。实际上这些公式都不外是弧、弦和正弦之间的相互关系的问题。由于在证明上述九个公式的过程中，在数的计算上极为繁琐，为了简化计算的程序，进而采取了三角变换的方法，由此又创出四个公式：即余弧求正弦正矢；余弦余矢求本弧；借弧背求正弦余弦；借正弦余弦求弧背。总称割圆十三术。

明安图的割圆木，是采用连比例的归纳方法来证明的。所谓割圆连比例方法，就是使用若干相联的等腰相似三角形对应边成比例的关系，连续采用比例三角形进行推算的。由此推算就可得：十分弧，百分弧，千分弧，万分弧，以至“析之至于无穷”。他这种无穷求和的思想，用公式表示：

当n→＋∞时，λn（这里λ为上对位弦之长）如果以2a表示全弧的长度

则为2a＝lim（nλ）

当n分弦数无限增大时，BC上nλ对位弦之长，就越接近BC的全长。这种以直线求圆线，以圆线求直线的思想，很明显是和西方微积分有同等意义的。他所发现的无穷极数和收敛极数的数学思想，是在世界数学史上一次较早的记录。明安图的这桩数学成就，几乎和瑞士数学家欧拉（公元1707～1783年）同时出现。其可贵之处，在于他所得的结果，完全是由自己独立发现的。他的这种收敛极数思想，在欧洲也才刚刚开始出现，就当时来说，它是一个很先进的数学思想。(www.xing528.com)

明安图在数学上所取得的成就，得到了人们的很高评价。当代就有人说他的数学成就，可以和汉代杰出的数学家刘徽和南朝杰出的数学家祖冲之父子相媲美。他的割圆术被清代学者誉为“明氏新法”，是“弧矢不祧之宗”。日本数学史家三上义夫和英国科技史家李约瑟都曾对他做过很高的评价。

令人遗憾的是，如此巨大的研究成果明安图生前只写出了《割圆密律捷法》的草稿，未及将书定稿就逝世了。在他临终的时候，将手稿交予他的弟子陈际新并嘱托他“续而成之”。陈际新与明安图之子明新以及明安图的另一弟子张良亭等，共同将书续写完成。

《割圆密率捷法》，全书共四卷，第一卷为“步法”；第二卷为“用法”；第三卷为“解法”上；第四卷为“解法”下。书中的一、二卷是明安图自己的遗稿，三、四卷是陈际新、明新、张良亭等人“辑共解，并述其意”。这部书共有四种版本：首先是以抄本流传，直到道光十年（公元1839年）岑建功根据传抄本刊印出版；同年罗士琳将此书收入自己编写的《观我生室汇稿》中；次年有陈氏刊本问世；清末刘铎编纂《古今算学丛书》时，也将其收入他的丛书之中。

明安图的数学成就，在中国数学史上产生了巨大的影响。（1）他的三角函数和反三角函数为我国解析研究开辟了新的途径；（2）为19世纪初我国著名数学家项名达的以割圆连比例求椭圆周长法提供了前行思想；（3）其数学方法，也被广泛地运用到天文推步和地理测绘方面，对我国天文学、地理测绘学的发展起到了一定推动作用。明安图的这一数学成就，大放异彩，在我国近代数学史上，是具有划时代意义的。

明安图将他的毕生精力，全部贡献给了祖国的科学事业，对祖国科学技术的发展做出了巨大的贡献。

明安图在学习上的恒心和坚强的毅力；在治学方法上的严谨；在工作态度上的勤奋和耐心；尤其是年近古稀，进入暮年，尚能壮心不减，仍不断地攻坚，力求进取；他所表现的这种精神，为我们后代人树立了可资效法的榜样。