隙积与会圆：算术中的新技巧和挑战

【原文】

算术求积尺之法，如刍萌、刍童、方池、冥谷、堑堵、鳖臑、圆锥、阳马之类，物形备矣，独未有“隙积”一术。古法，凡算方积之物，有“立方”，谓六幕皆方者，其法再自乘则得之。有“堑堵”，谓如土墙者，两边杀，两头齐，其法并上下广折半以为之广，以直高乘之；又以直高为股，以上广减下广，余者半之为勾，勾股求弦，以为斜高。有“刍童”，谓如覆斗者，四面皆杀，其法倍上长加入下长，以上广乘之；倍下长加入上长，以下广乘之；并二位法，以高乘之，六而一。“隙积”者，谓积之有隙者，如累棋、层坛及酒家积罂之类。虽似覆斗，四面皆杀，缘有刻缺及虚隙之处，用“刍童法”求之，常失于数少。予思而得之，用“刍童法”为上行，下行别列下广，以上广减之，余者以高乘之，六而一，并入上行。假令积罂：最上行纵横各二罂，最下行各十二罂，行行相次，先以上二行相次，率至十二，当十一行也。以“刍童法”求之，倍上行长得四，并入下长得十六，以上广乘之，得之三十二；又倍下行长得二十四，并入上长，得二十六，以下广乘之，得三百一十二，并二位得三百四十四，以高乘之，得三千七百八十四。重列下广十二，以上广减之余十，以高乘之，得一百一十，并入上行，得三千八百九十四，六而一，得六百四十九，此为罂数也。“刍童”求见实方之积，“隙积”求见合角不尽，益出羡积也。履亩之法，方圆曲直尽矣，未有“会圆”之术。凡圆田，既能拆之，须使会之复圆。古法惟以中破圆法拆之，其失有及三倍者。予别为“拆会”之术，置圆田，径半之以为弦，又以半径减去所割数，余者为股，各自乘，以股除弦，余者开方除为勾，倍之为割田之直径，以所割之数自乘，退一位倍之，又以圆径除所得，加入直径，为割田之弧。再割亦如之，减去已割之数，则再割之数也。此二类皆造微之术，古书所不到者，漫志于此。

【译文】(www.xing528.com)

算术中求物体体积的方法，比如刍萌、刍童、方池、冥谷、堑堵、鳖臑、圆锥、阳马等，各种物体的形状都具备了，单单没有“隙积”这一种算法。古代的算法，只要是计算物体的体积，有“立方”，是指六个面都是正方形的物体，它的计算方法是把一条边长自乘两次便求得了。有“堑堵”，就是像土墙一样的物体，两个墙面是倾斜的，两头的面是垂直的，它的截面积的算法是把上、下底面的宽相加，除以二，用直高与它相乘即得；再将直高作为股，用上底面的宽减去下底面的宽，得到的差数除以二作为勾，用勾股定理算出弦，便是它的斜边长。有“刍童”，就是形状像倒扣在地上的斗，四个侧面都是斜面，它的计算方法是把上底面的长乘以二，加上下底面的长，再用上底面的宽乘它；把下底面的长乘以二，加上底面的长，再用下底面的宽乘它；加上这两项，用高乘它们，再取它的六分之一，便得到了它的体积。“隙积”，是说体积有空隙的堆垛体，像垒起来的棋子、分层建造的土坛和酒店里堆起的酒坛一类的东西。虽然像倒扣的斗，四个侧面都是斜的，但是由于边缘有残缺和空隙的地方，若用“刍童”计算，得出的数字往往比实际的数要少。我想出了一种算法，用“刍童”算出它的上行，另外列出它的下底宽，减去上底宽，将这一差数乘以高，取其六分之一，并入上行就可以了。（假设有堆垛的酒坛子：最上层长、宽都是两只坛子，最底层长、宽都是十二只坛子，一层层相互错开垛好，先从最上层的两只数起，数到有十二只坛子的地方，恰好是十一层。用“刍童法”来计算，把上层的长乘以二得四，加下层的长得十六，用上层的宽来乘它，得三十二；又用下层的长乘以二得二十四，加以上层长得二十六，用下层的宽来乘以它，得三百一十二。把这两项相加得三百四十四，乘以高得三千七百八十四。另外将下层的宽十二减去上层的宽，得十，与高相乘，得一百一十，加上前面的数字得三千八百九十四，取它的六分之一，得六百四十九，这便是酒坛子的数目。运用“刍童”算出的是实方的体积，运用“隙积”算出的是截剩部分拼合成的体积，可以算出多余的体积。）丈量土地的方法，方、圆、曲、直的都有了，但是没有“会圆”的算法。凡是圆形土地，既能够拆开它，也应该能使它合起来恢复圆形。古代的算法只有“中破圆法”拆开来计算，它的误差有可能达到三倍。我发明了一种“拆会”算法，设有一块圆形的土地，用它的直径的一半作为弦，再以半径减掉所割下的弧形的高，它们的差数作为股，弦、股各自乘平方，用弦的平方减去股的平方，它们的差数开平方作为勾，再乘以二，便是割下的弧形田的直径，另外把所割弧形田的高平方，再乘以二，再除以圆的直径，用弧形田的直径与它相加，就是所割弧形田的弧长。再割一块田它的算法也是这样，将总的弧长减去已割部分的弧长，便是第二次割田的弧长了。这两类方法都是涉及精微的算法，是古书里没有涉及的，所以随意记录在这里。