结构嵌套均值模型及其对处理变量的因果效果分析

与边际结构模型相比，结构嵌套均值模型则关注某一特定时间点上的处理变量At的取值对于最后响应变量Y的因果效果。由于存在多个时点，因此这种特定时间点上的处理效应也叫条件中间因果效果（conditional intermediate causal effect）。

具体而言，结构嵌套均值模型对于结果变量Y进行了分解。以两个时间点为例，Y的变化取决于A1、A2、L1和L2的值，因此，Y的期望值可以表示为Ey［Y（A1，A2）］|L1，L2，A1，A2。显然，参照组可以写成Ey［Y（A1=0，A2=0）］|L1，L2，A1，A2=Ey［Y（0，0）］|L1，L2，A1，A2。进一步，结构嵌套均值模型可以将Ey［Y（A1，A2）］|L1，L2，A1，A2-Ey［Y（0，0）］|L1，L2，A1，A2进行了分解，如下所示：

由于Y（A1，A2）包含了A1和A2的取值，A1只受到L1的影响，参照组的情况则既不受L1也不受L2的影响，因此Ey［Y（A1，0）-Y（0，0）］|L1，L2，A1，A2的可以进一步简化，即

同理，A2受到L1，L2和A1的影响，因此Ey［Y（A1，A2）-Y（A1，0）］|L1，L2，A1，A2也可以进一步简化：

对于结构嵌套均值模型而言，我们希望得到的各个时间点上的处理效应，而这些处理效应本身是受到前面各个时点的处理变量取值A以及一系列混淆变量L影响的。因此，对于每个时间点，其处理效应本身是一个条件效应，取决于之前的A和L。例如，对于时间点1，A1的效果取决于L1，因此，时间点1的条件中间因果效果可以表示为

对于时间点2，条件中间因果效果可以表示为

那么，基于简单的数学运算，我们可以在公式（12 1）的基础上同时增加和减少Ey［Y（0，0）］|L1，从而得到

同理，对于公式（12-2），同时增加和减少Ey［Y（A1，0）］|L1，L2，A1，得到(www.xing528.com)

至此，我们可以把Ey［Y（A1，A2）］如下分解：

其中，最右边的符号指代等式右边的五项内容。β0代表了基线情况Ey［Y（0，0）］，即当A1和A2都为0的时候的Y的取值。μ2表示因为A2的变化带来的相比于时间点1时Y的变化，ε2则表示引入L2后带来的相比于时间点1时Y的变化，μ1表示因为A1的变化，相比于基线状态带来的Y的变化，ε1则表示引入L1后带来的Y的变化，同样，参照标准依旧是基线标准。

基于上述的分解，可以用线性表达式来表示μ1和μ2。例如，由于μ1是L1的函数，且当A1取值为0的时候，μ1等于0，将μ1表示为A1×f（L1），其中f（L1）是L1的函数。最简单的函数就是L1本身，则此时μ1=A1×L1。更为复杂的函数可以是抛物线，例如f（L1）=L 21+L1，那么μ1=A1×（L 21+L1）。同理，μ2是L1，A1和L2的函数，且A2等于0的时候，μ2也等于0。那么，我们可以将μ2表示为A2×f（L1，L2，A1）。至于ε1和ε2，我们不一定将其写成一个明确的函数表达式。这是因为我们所关心的是μ1和μ2如何影响Y的取值，换句话说，可以将上面的表达式中的ε1和ε2统一写成γ。此时，模型变成了

对于特定的数据，拟合的模型就是Y（A1，A2）=β0+β1A1×f（L1）+β2A2×f（L1，L2，A1）+γ+ψ。如果Y是连续型变量，假定ψ服从均值为零，方差恒定的正态分布。此时，通过估计方程来估算β1和β2。具体而言，计算Y（A1，A2）-β1A1×f（L1），这个表达式将A1在时间点1上对于Y的影响去除掉了。因此，这个表达式应该和A1彼此独立，即其协方差为0，得到

同理，可以计算Y（A1，A2）-β1A1×f（L1）-β2A2×f（L1，L2，A1），这个表达式应该和A2独立，因此，

至此，β1和β2的取值应该同时满足等式（12 5）和等式（12 6），从而可以估计出其取值。

另外一种系数估计方法则要求我们明确地写出ε1和ε2的表达式。具体而言，ε1代表L1对于Y的取值的影响。因此，最简单的一个表示方法就是ε1=L1。对于ε2，它所要表达的意思是在时间点2时，因为引入L2所带来的相比于时间点1时Y的新变化。换句话说，在时间点2上引入的L2，是要剥离L1和A1的影响之外的新的影响力。此时，一个最直观地对ε2的表示是L2在考虑过L1，A1之后的残差。具体而言，我们可以用L1和A1去拟合L2的值，然后计算残差L2res。此时，ε2可以设定为L2res。值得说明的是，在每一个对μ1和μ2以及ε1和ε2的表达式中，都可以引入基线的一些变量，或者中间随时间变化的一些变量。尤其是，将这些变量和相应的μ1和μ2进行交互，就能够得到这些变量对于时间点1和时间点2的处理效果的调节（moderation）效应了。