使用函数单调性定义证明f＝3x-2为增函数的必要性

学生学情分析：学生知道一次函数、二次函数和反比例函数这三类函数图像的变化趋势，并且刚刚学习了函数单调性的定义，能说出这三类函数的单调性。

课堂实录

问题四

师：刚才作图的时候，我们采用的是描点法，仅用了几个点，怎么保证函数y＝3x-2图像是一直上升的？

生14：因为初中就是这么说的，还有因为函数y＝3x-2的单调性。

师：数学是一门非常严谨的学科，数学中的定义是严格定义，接下来，我们用数学定义来证一证这个问题，给出例题。

例2：运用函数单调性的定义证明

（1）f（x）＝3x-2在区间（-∞，+∞）上是增函数。

师：我们常用什么方法比大小？

生：作差法。

（教师板书）

师：请大家模仿完成第二小题。

（2）在 区间（-∞，0）上是减函数。（请一位学生板书）

师：能说说上述证明的主要步骤吗？

生15：先取值，再作差变形，再定号，最后得出结论。

设计意图：怎么证明一次函数的图像上升？引起认知冲突，学生体验形式化定义学习的必要性。

感悟：学生会通过函数的图像直观地来判断一个函数是增函数（减函数）。既然从“形”上能够判断，即帮助我们探索了解题思路，那么下一步就该引导学生再回归到定义上，从“数”的角度证明单调性，运用定义才是最终解决问题的基础，例题的选取依然还是上面的三个函数，学生对于图像之所以能不断上升（下降）的好奇心也得到了一定的满足，充分认识到了数学的严谨之美。

问题五

师：上面我们涉及的函数都是大家学过的，有的同学说我看图像就能知道函数的单调性了，那么如果我们遇到的是没学过的函数呢？给出问题。(www.xing528.com)

例3：已知函数

（1）写出函数值，，f（1），f（2）；

（2）猜测函数在区间（0，+∞）上的单调性，证明你的结论。

（学生在草稿纸上演算）

生16：f＝64，f＝16，f（1）＝4，f（2）＝1，我猜f（x）＝在区间（0，+∞）上是减函数。

师：大家同意生13的猜测吗？生：同意。

师：那么我们证明一下吧。

生：（自行完成）

师：这道例题告诉我们，单调性的定义不是仅服务于我们学过的几类函数，我们的视野要变得更大更宽才行，虽然现在我们还不能确切知道例3的这个函数“长什么样”，但是通过今天的学习，可以很明确地知道（0，+∞）上它的图像一定是从左到右不断地下降的，而且，很多数学结论的出现，离不开我们大家的大胆地猜测！

设计意图：强化函数单调性的形式化定义，培养学生的逻辑推理能力。

感悟：难道单调性的定义学习后就为了服务于一些学生都学过的函数吗？教材上的例题5：“证明函数在区间（0，+∞）上的单调性”就给大家出了一个难题，按照学生现有认知结构是无法直接做出图像的，因此结论是什么学生无从回答，可能会使这个问题的进行陷入僵局，所以教师对例题进行了改造，首先对给定的函数值比较大小，然后根据结果对函数的单调性进行猜测，最后证明结论，这样的改造既为了鼓励学生在进行数据分析后做大胆的猜想，也是为后面应用函数的基本性质研究函数作一个铺垫，再次感受数学的理性之美。

问题六

师：通过今天的学习，你有何感想？

生17：（进行讨论归纳）函数单调性的定义。

生18：定义法证明函数单调性的步骤。

生19：讨论函数的单调性必须在定义域内进行。

设计意图：引导学生进行总结反思，形成函数单调性的认知结构。