代数数与超越数的概念及历史发展

数是一个庞大的“家族”，按照不同的“血缘”关系，它可以分成不同的分支，下面是一种最为常见的数的分类法：

其中，i2＝-1.

事实上，还有另外一种分类方法：

什么是“代数数”？如果一个复数，它是形如如下的整系数代数方程

anxn＋an-1xn-1＋an-2xn-2＋…＋a1x＋a0＝0

的根的话（这里an≠0），那么它就被称为“代数数”.全体复数集合中，除去代数数，剩下的便称为“超越数”.代数数所包含的范围很广，它包括了所有的有理数和它们的根，如，…都是代数数.超越数的概念，首次出现在1748年出版的欧拉的著作《无穷分析引论》之中.他在该书第一卷第六章中，未加证明地断言这种数的存在性.

历史上第一个证明了超越数存在性的是法国数学家刘维尔（1809—1882），他于1851年构造了一个数：

这个无限小数后来被称为“刘维尔数”.刘维尔成功地证明了这个数是一个超越数.

既然复数集合中既包含代数数，又包含超越数，那么它们各有多少呢？在“刘维尔数”构造出来之后二十多年，数学家康托尔证明了：所有代数数的集合是可数的，然而，由于实数集、复数集是不可数的，所以必定存在不是代数数的复数，因此超越数必定存在，而且有无穷多个，甚至比代数数要多得多.

与刘维尔不同，康托尔并没有构造出一个具体的超越数就证明了它们的存在.

数学中构造性的方法和非构造性方法都是数学证明中的常用方法.一般情况下，我们考虑一个具体的对象比考虑一个抽象的对象要容易得多，但在数学中，有时却恰恰相反：证明某个具体的数是超越数远比非构造性地证明超越数的存在性更为困难和复杂.(www.xing528.com)

1873年，法国数学家埃尔米特（1822—1901）证明了自然对数的底e＝2.7182818…是超越数.

1882年，德国数学数学家林德曼（1852—1939）证明了圆周率π＝3.1415926…是超越数.

π的超越性的证明彻底解决了古希腊三大不能几何作图之一：化圆为方问题.

判断某些给定的数是否是超越数实在太难，数学家们为此付出了艰苦的劳动，但这个领域仍旧迷雾重重.比如说，现在人们仍然无法断定像e＋π和这样的数到底是代数数还是超越数.

超越数与代数数有着明显的不同，比如对三个超越数a，b，c有下式成立

a＋b＝a＋c

但b＝c却不一定成立.类似地，对于这三个数，如果下式成立

a×b＝a×c

但b＝c也不一定成立.