方程的同解性质和定义域的交集

定义　如果方程①f1（x）＝g1（x）的任何一个解都是方程②f2（x）＝g2（x）的解，并且方程②的任何一个解也都是方程①的解，那么方程①和②称为同解方程.

两个无解方程认为是同解方程.

定理1　如果函数A（x）对于方程f（x）＝g（x）的定义域M中的数都有意义，那么方程①f（x）＝g（x）与方程②f（x）＋A（x）＝g（x）＋A（x）同解.

证明：设x1∈M，且有f（x1）＝g（x1），从而有f（x1）＋A（x1）＝g（x1）＋A（x1），即方程f（x）＝g（x）的每一个解都是方程f（x）＋A（x）＝g（x）＋A（x）的解.

如果f（x1）＋A（x1）＝g（x1）＋A（x1），由f（x1）＋A（x1）-A（x1）＝g（x1）＋A（x1）-A（x1），可得f（x1）＝g（x1），即方程f（x）＋A（x）＝g（x）＋A（x）的每一个解也都是方程f（x）＝g（x）的解，

所以这两个方程是同解方程.

定理2　如果函数A（x）对于方程f（x）＝g（x）的定义域M中的数都有意义，并且不等于零，那么方程①f（x）＝g（x）与方程②A（x）f（x）＝A（x）g（x）同解.

定理3　如果F（x）＝f1（x）f2（x）…fk（x），那么方程F（x）＝0的解集等于下列各个方程：f1（x）＝0，f2（x）＝0，…，fk（x）＝0的解集的并集，其中每一个解都属于这k个方程的定义域的交集.

定理4　如果f1（x）≡f2（x），g1（x）≡g2（x），方程①f1（x）＝g1（x）与方程②f2（x）＝g2（x）的定义域都是数集M，那么方程①与方程②同解.