集合论是关于无穷集合和超穷数的数学理论，其核心内容几乎完全是由康托尔一个人发展起来的，集合论是数学大厦的重要基础.
无穷集合的一个部分或子集可以等价于其整体.例如0到1之间的实数通过公式y＝2x可与0到2之间的实数构成一一对应，虽然后面的集合包含前面的集合.
1873年11月29日康托尔给戴德金（1831—1916）的信中提出：正整数的集合与实数的集合之间能否把它们的元素一一对应起来？同年12月7日，康托尔给戴德金的信中说他已成功证明实数的“集体”是不可数的，也就是不能同正整数的“集体”一一对应起来.这个时间应该看成是集合论的诞生日.
1874年，康托尔发表了《论所有实代数数集体的一个性质》，提出了“可数集”概念，并以一一对应为准则对无穷集合进行分类，证明了如下重要结果：（1）一切代数数是可数的；（2）任何有限线段上的实数是不可数的；（3）超越数是不可数的；（4）一切无穷集并非都是可数的，无穷集同有穷集一样也有数量（基数）上的区别.(www.xing528.com)
就是这一年，康托尔提出：是否能把一块曲面（如包含边界在内的正方形）一一映射到一条线上（如包含端点在内的线段），即建立面上的所有点与线上所有点之间的一一对应？同时还做出猜测：在可列集基数和实数基数之间没有别的基数（连续统假设）.
对于前一个问题，1877年6月20日，他自己告诉朋友这个问题答案是肯定的（结论是震撼人心的，相当于Card R＝Card C），虽然几年以来他都认为答案是否定的.他说“我看到了它，但我简直不能相信它”.关于这一成果的论文1878年发表后，吸引人们研究度量空间维数的本质.而对“连续统假设”康托尔始终束手无策.
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