关于质数的著名难题及其解析

（1）哥德巴赫猜想

哥德巴赫（德1690—1764）

在1742年给欧拉的信中德国数学家哥德巴赫提出了以下猜想：任一大于2的偶数都可写成两个质数之和.哥德巴赫自己无法证明，就寄希望于赫赫有名的欧拉，但是一直到去世，欧拉也无法证明.因现今数学界已经不使用“1也是素数”这个约定，原初猜想的现代陈述为任一大于5的整数都可写成三个质数之和.如果把命题“任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和”记作“a＋b”，则哥德巴赫猜想就是“1＋1”.

1920年，挪威的布朗证明了“9＋9”.

1924年，德国的拉特马赫证明了“7＋7”.

1932年，英国的埃斯特曼证明了“6＋6”.

1937年，意大利的蕾西先后证明了“5＋7”“4＋9”“3＋15”和“2＋366”.

1938年，苏联的布赫夕太勃证明了“5＋5”.

1940年，苏联的布赫夕太勃证明了“4＋4”.

1948年，匈牙利的瑞尼证明了“1＋c”，其中c是一很大的自然数.

1956年，中国的王元证明了“3＋4”，稍后证明了“3＋3”和“2＋3”.(www.xing528.com)

1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了“1＋5”，中国的王元证明了“1＋4”.

1965年，苏联的布赫夕太勃和小维诺格拉多夫及意大利的朋比利证明了“1＋3”.

1966年，中国的陈景润证明了“1＋2”，这是关于该猜想证明的最好结果，他证明了“任一充分大的偶数都可以表示成两个素数的和，或是一个素数和一个半素数的和”.

（2）孪生质数

1849年，波林那克提出孪生质数猜想，即猜测存在无穷多对孪生质数.猜想中的“孪生质数”是指一对质数，它们之间相差2.例如3和5，5和7，11和13，10016957和10016959等等都是孪生质数.

英国数学家戈弗雷·哈代和约翰·李特尔伍德曾提出一个“强孪生质数猜想”.这一猜想不仅提出孪生质数有无穷多对，而且还给出其渐近分布形式.2013年5月，华人数学家张益唐在孪生质数研究方面取得了突破性进展，他证明了孪生质数猜想的一个弱化形式.在最新研究中，张益唐在不依赖未经证明推论的前提下，发现存在无穷多个之差小于7000万的质数对，从而在孪生质数猜想这个重要问题的道路上前进了一大步.

（3）梅森质数

17世纪法国数学家梅森做过一个猜想：当2p-1中的p是质数时，2p-1是质数.他验算出：当p＝2、3、5、7、17、19时，所得代数式的值都是质数，后来，欧拉证明当p＝31时，2p-1是质数.当然，这个猜想不是真的，因为即便当p＝11时，2047＝23×89也不是质数，然而这并没有减弱人们对这些“梅森数”的研究热情.

梅森去世250年后，美国数学家科勒证明，267-1＝193707721×761838257287，是一个合数，这是第九个梅森数.20世纪，人们先后证明：第10个梅森数是质数，第11个梅森数是合数.

迄今为止，人类仅发现48个梅森质数.中央密苏里大学在2013年1月25日协调世界时间23：30：26时发现的质数257885161-1，为迄今发现的最大质数，同时是一个梅森质数.由于这种质数珍奇而迷人，它被人们称为“数学珍宝”.值得一提的是，中国数学家和语言学家周海中根据已知的梅森质数及其排列，巧妙地运用联系观察法和不完全归纳法，于1992年正式提出了梅森质数分布的猜想，这一重要猜想被国际上称为“周氏猜测”.