演绎纯粹数学的历史与第一次数学危机

现代意义下的数学，也就是演绎系统的纯粹数学，来源予古希腊毕达哥拉斯学派.它是一个唯心主义学派，兴旺的时期为公元前500年左右.他们认为，“万物皆数”，这里的数是指整数，这个学派认为数学的知识源于纯粹的思维，是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界.

毕达哥拉斯（古希腊约前580—约前500（490））

第一次数学危机是以无理数的发现为标志的.

当时的数学家认为，每一个有理数都对应着直线上的一个点，这样能把直线上所有的点用完.大约在公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现：等腰直角三角形的直角边与其斜边不可通约.新发现的数被称作了无理数.无理数的发现，与毕达哥拉斯学派的既有认知相对立，据说毕达哥拉斯学派为了解决这个矛盾，把希帕索斯装进麻袋，投进大海.

也有说法，最先发现的无理数来源于正五边形的边与对角线的比(www.xing528.com)

无理数的发现使毕达哥拉斯学派的人感到迷茫，这不仅违背了毕达哥拉斯学派的信条，而且冲击着当时希腊人持有的“一切量都可以用有理数表示”的信仰.这就是第一次数学危机.

柏拉图（约前427—前347）的学生欧多克斯（约前408—前355）约在公元前370年解决了关于无理数的问题.他纯粹用公理化方法创立了新的比例理论，巧妙地处理了可公度和不可公度.所用的办法，被欧几里得（前330—前275）《几何原本》第二卷（比例论）收录.有意思的是该方法和戴德金于1872年给出的无理数的现代解释基本一致.

第一次数学危机使整数的尊崇地位受到挑战，导致几何学开始在希腊数学中占有特殊地位.从此希腊人开始从“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系.形成了欧几里得《几何原本》的公理体系与亚里士多德（前384—前322）的逻辑体系，为世界数学做出了杰出贡献.但也正是自此以后，希腊人把几何看成了全部数学的基础，从而把数的研究弱化，割裂了数与形的关系，放弃了对无理数本身的研究，使算术和代数的发展受到很大的限制，基本理论十分薄弱，这种畸形发展在欧洲持续了2000多年.

埃及、巴比伦、中国、印度等国的数学没有经历第一次数学危机的冲击，从而继续走着偏重计算、实用为主的道路.