理论基础：ARCH模型中的异方差误差分布修正与参数估计

1．ARCH模型

在11章中，我们介绍了异方差的相关内容和应用，但是在理论的发展过程中，对异方差误差分布的修正能够导致更加有效的参数估计。例如在回归方程

中的εt的方差可能与成正比，在这种情况下，我们可以使用加权最小二乘法，即令方程的两边同时除以变量x2t，然后用普通最小二乘法估计变化后的回归方程：

在有些应用场合下，可以认为误差项是随时间变化的并且依赖于过去的误差大小。在一些实际应用中，常常有大的误差与小的误差成群出现的情形，换句话说，存在着一种特殊的异方差形式，回归误差的方差依赖于过去不久误差的变化程度。

一个被广泛采用以解决这类异方差模型是由Robert Engle研究发展出来的，他认为用一个自回归条件异方差模型（Autoregressive conditional heteroscedasticity model，简计为ARCH模型）会提高有效性。

一般的，随机误差项εt的方差σ2t可以依赖于任意多个滞后变化量εt-i（i=1，2，…p），记作ARCH（p）：

注意：

为了保证在给定条件下，，就必须要求α≥0（α=0，1，…，p）；

要保证误差序列εt的平稳性，系数必须满足：α1+α2+…αp＜1。

2．Breusch-Pagan检验

在同方差的假设下条件下：

根据OLS处理结果，可根据下式计算检验的统计量SSR/2：

查自由度为1时的χ2分布表，找出给定显著性水平α条件下的临界值，比较检验统计量与临界值的大小，以确定接受还是拒绝模型同方差的零假设。

3．拉格朗日乘子（LM）检验法

已经讨论过两种假设检验法：F检验（Wald检验）法和似然比检验法。Wald检验从无限制条件模型开始，检验给模型加上限制条件（即一些回归参数等于0）是否显著地减弱了回归模型的解释能力。根据Wald检验的观点，原假设由有限制条件模型给定，而备择假设由无条件模型给定。在线性回归模型情况下，显著性由F检验来评估。似然比检验法检验的也是关于由有条件模型给定的原假设，但是这一检验却是用χ2分布完成的。由于似然比（LR）检验法的基础是极大似然原则，因此它是很有吸引力的检验法。

拉格朗日乘数（LM）检验由有限制条件模型限定的原假设出发，检验向备择假设方向的变化能否显著地提高有限制条件模型的解释能力。拉格朗日乘数检验法以有条件极大化技术为基础，其中拉格朗日乘数是用来估计限制条件对参数极大似然估计的影响程度的。令βUR为无条件模型参数的极大似然估计，βR为有条件模型参数的极大似然估计。目标是在限制条件βUR=βR下求lnL（βUR）的极大，这就等价于求下式的极大：

式中：λ是拉格朗日乘数。很明显，限制条件成立时这个函数达到极大值。拉格朗日乘数度量的是限制条件的边际“价值”：λ越大，限制条件对lnL（βUR）的极大值影响就越大。

要想明白其中的道理，注意到极大化的一阶偏导数条件之一是

所以λ是似然函数的斜率。如果限制条件成立的原假设不能被拒绝，则有条件的参数会与无条件的参数很接近，而且λ的值会较小。但是，如果限制条件显著地不成立，则加上限制条件的损失，也就是λ，就会更大。因此，基于λ大小的拉格朗日乘数检验法有时就称为计数检验（score test）。

拉格朗日乘数检验法可以很容易地用于考虑是否在回归模型中加入另外的解释变量的特殊情况。假如已经估计了有条件模型

而且正在考虑可能加入另外q个变量中的部分或全部变量的无条件模型

关于q个变量中每一个变量的系数都是零的假设的拉格朗日乘数检验首先计算有条件模型（10-16）的残差：

然后考虑将这些残差对无条件模型中的所有解释变量进行回归：

如果所有这些另外加上的变量都是“无关紧要”的，则当我们从有条件模型变到无条件模型时，q个多出来的变量的系数应当为0。然而，如果无条件模型中多包含的变量中有些对r有决定性影响的话，我们认为它们的系数应当是统计上显著的，因此方程（18-8）的估计会很好地拟合数据。(www.xing528.com)

拉格朗日乘数检验法依赖于回归方程（18-8）的显著性检验。特别地拉格朗日乘数检验统计量

服从自由度为q（限制条件个数）的χ2分布。N为样本容量，是回归方程的R2。

如果计算出的检验统计值大于χ2分布的临界值，我们就拒绝有条件模型成立的原假设。拒绝原假设就是认为有些另外的变量应当被包含在模型之中。对模型的t统计量的研究能够表明应该选择哪些变量，但是没有什么公认的评价方法。

拉格朗日乘数检验法常常用来对异方差进行检验，就是White检验。为了略为深化这里的讨论，假设估计了一个线性回归模型，但是担心误差项方差是否是两个外生变量x和z的函数。White建议异方差由下面的误差项方差的函数所确定：

不存在异方差的原假设为方程（18-11）中的系数满β1=β2=β3=β4=β5=0。为了用White检验，用原始模型的残差平方和作为σ2的估计。按照拉格朗日乘数检验法，用方程（18-11）的回归计算NR2，它应当服从自由度为5的χ2分布，其中数5是原假设中限制条件的个数。

实际操作：对最小平方估计的残差平方进行辅助回归，用的滞后项的平方和常数项作回归，然后按辅助回归结果显示的R2计算LM统计量。在异方差的原假设H0：

α1=α2=…=αp=0的前提下，NR2具有渐近χ2（p）分布，当NR2大于χ2（p）分布的临界值时，接受模型随机误差项中存在ARCH的影响作用。

我们还可以用广义最小平方法，其具体步骤为，首先进行OLS估计原模型，估计参数β，得到模型残差et；然后用对和常数项作回归，得到系数的估计α0，α1，…，αp，以及的拟合值；最后用拟合值估计原模型随机项εt的方差，以及原模型参数β的广义最小平方估计值。

4．GARCH模型

1886年，波勒斯勒夫（Bollerslev）提出了条件方差函数的拓展形式，即广义ARCH模型——GARCH（Generalized AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity），这被证明是对实际工作的开展非常有价值的一步。GARCH模型的条件方差表达如下：

为保证条件方差σt＞0，要求

用GARCH（p，q）来表示阶数为p和q的GARCH过程。

相对于ARCH，GARCH模型的优点在于：可以用较为简单的GARCH模型来代表一个高阶ARCH模型，从而使得模型的识别和估计都变得比较容易。其原因是：常常有理由认为εt的方差依赖于很多时刻之前的变化量，但这样的话，我们必须估计很多参数，而这一点很难做到。我们能意识到方程（18）不过是的分布滞后模型，我们就能够用一个或两个的滞后值代替许多εt的滞后值，这就是广义自回归条件异方差模型（generalized autoregressive conditional heteroscedasticity model，简计为GARCH模型），GARCH模型也可以用极大似然估计法进行估计。

最简单的GARCH模型是GARCH（1，1）模型为

误差项的方差现有三个组成部分：一个常数项，前一时刻的变化项（ARCH项），以及前一时刻的方差（GARCH项）。因为其实质上是一个几何滞后模型，所以只要λ1小于1，可以把（18-14）式改写为

换句话说，此刻的方差以几何下降的权重依赖于过去所有的误差变化量。

一般情况下，我们可以有任意多个ARCH项和GARCH项，GARCH（p，q）模型表示为：

最后，等式（18-16）还可以进一步推广，可以包括一个或多个外生或预定变量作为误差项方差的其他决定因素。例如，x3t是一个外生变量，我们可以把它作为下列GARCH（1，1）模型的一部分：

但是，往的方程中添加外生或预定变量时必须小心。如果x3t取负值，可能会造成方差对于某些观测值取负值。

5．（G）ARCH-M模型

由恩格尔（Engle）、利立安（Lilien）和罗宾斯（Robins）提出的ARCH-M（ARCH-in-mean）模型提供了一个估计和检验时变型风险补偿的新方法，正如我们可以在描述的方程右边添加外生或预定变量一样，我们也可以在回归方程（1）的右边添加或标准差σt。比如，如果回归的目的是要解释股票或债券等金融资产的收益，我们就可以这样做，其原因在于人们认为金融资产的收益应当与其风险成正比。例如，我们可以认为某股票指数（如S&P500指数）的票面收益（returnt）依赖于一个常数项、通货膨胀率以及条件方差：

然后我们可以把的方差看成是一个（18-17）式那样的GARCH（p，q）过程。这种类型的模型被称为ARCH-M（ARCH-in-mean）模型。