理论基础：结构式VAR模型中的序列相关性和反馈问题的讨论

考虑简单的二维系统，如果没有充分的理由确定变量是否为外生变量的情况下，可以认为两变量具有反馈关系。假设yt的时间路径受zt的现期值与过去值影响，zt的时间路径受yt的现期值与过去值影响：

这里假设：①yt，zt是平稳的；②εyt，εzt是白噪声扰动，标准差分别为σy，σz；③{εyt}，{εzt}是不相关的。

方程（17-1），（17-2）构成了一阶向量自回归（VAR）。方程（17-1），（17-2）称为结构式VAR，简记为SVAR。这个系统反映了yt，zt之间的相互反馈。

方程（17-1），（17-2）不是导出型（约化型）方程，因为，yt对zt有当期影响，且zt对yt有当期影响。但可以将这方程系统转化成一个更便于应用的形式。我们可将这系统写成下面形式：

因此，e1t是序列无关的，e2t也是序列无关的，且分别有零均值，常量方差。冲击e1t，e2t的协方差矩阵为

由于

一般来说（17-5）不为零，所以e1t，e2t是序列相关的，即两个冲击是相关的。当b12=b21=0时，e1t，e2t是序列不相关的。

由于Σ中所有元素都与时间t无关，所以可写成如下形式：

考虑下面多维自回归过程

式中：Xt是n×1向量，A0是n×1截距向量，Ai是n×n系数矩阵，et是n×1误差向量。

矩阵A0含有n个参数，每个Ai都含有n2个参数，所以，有n+pn2个参数需要估计。通常，这些估计的参数中的许多是不显著的，VAR将是过度参数化。然而，由于目标是找出这些变量之间的相关关系，并不是作短期预测。加入一些不适当的零限制会损失重要的信息。而且，解释变量之间也可能有共线性，对单个系数的t检验对于简化模型不一定非常可靠。

由于方程（17-8）的右边只包含滞后变量，且误差项是序列无关的，常数方差。因此，这系统中每个方程都能用OLS估计，而且OLS估计是一致的且是渐近有效的识别。

为了说明识别程序，我们回到二变量一阶VAR的例子。由于VAR过程中的反馈，方程（17-1），（17-2）不能直接估计，原因在于zt与εyt相关，yt与εzt相关。标准估计方法要求解释变量与误差项无关。注意，在估计标准型VAR（17-4）中，不存在这样问题。OLS能提供A0中两元素的估计，A1中4个元素的估计。而且，从两个回归中获得残差，可以得到e1t，e2t的方差，协方差的估计。

如果我们比较方程组（17-1），（17-2）中参数的个数与方程组（17-4）中参数的个数，可以看出，除非对方程（17-1），（17-2）施加一些必要的限制，否则就是不可识别的。方程（17-4）有9个参数需要估计，6个系数的估计（a10，a20，a11，a12，a21，a22）和3个参数的值。而结构方程（17-1），（17-2）中包含10个参数。

总之，结构方程（17-1），（17-2）中包含10个参数，而VAR估计只得到9个参数。除非我们对其中的一个参数加上限制，否则不可能识别这个方程，方程（17-1），（17-2）是不足识别（underidentified）的。

识别模型的一种方法是Sims（1980）提出的在结构模型中施加“识别限制”的估计策略，即采用递归方程组型式。在Sims的方法中，根据有关的经济模型来选取VAR变量，通过滞后长度的检验来确定方程中的滞后长度。如果对结构方程组系数加入一个限制，如系数b21=0，这时结构方程变为

在n个变量的VAR中，B是n×n矩阵（有n个回归残差，n个结构冲击），要有（n2-n）/2个限制加入到回归残差和结构冲击中。因为，Choleski分解是三角形的，使矩阵B中有（n2-n）/2个值等于零。

VAR模型的假设检验。

1.变量个数的选择(www.xing528.com)

一般来说，VAR模型中可以包含很多变量，但每加入一个变量，就要增加np个需要估计的参数，从而减少了假设检验的自由度，所以模型中变量不应包含太多变量。

2.模型滞后长度的检验

首先，用自由度允许的最大滞后长度估计VAR模型，提出最后几个滞后项的系数为0的零假设；其次，根据零假设的约束，用同样观测序列样本估计带约束的VAR模型；再次，分别计算无约束VAR和带约束VAR模型的残差的协方差矩阵Σu和Σr，构造出检验上述零假设的似然比统计量：

式中：T——估计模型所用观测值的个数；

c——无约束VAR模型中每个方程的参数个数；

q——带约束VAR模型中约束的个数。

最后，根据似然比统计量的值和χ2（q）分布的临界值，判断是否拒绝零假设。

3.VAR模型选择的AIC和SBC准则

将单变量模型选择的AIC和SBC准则推广到多变量，则有：

式中：|Σ|——模型残差的协方差矩阵的行列式。

Granger原因与外生性是两个不同的概念。对于两变量{yt}和{zt}来说，{zt}的外生性，是指yt当期值不影响zt当期值。而Granger原因是指{yt}的过去值对zt的影响，因此，Granger原因实际上测量的是{yt}的过去值是否有助于预测zt的未来值。

如果，则yt没能改进zt的预测性能，所以yt不是zt的Granger原因。

虽然{yt}不是{zt}的Granger原因，但是{zt}可以不是外生的。

由于Granger因果关系检验是确定一个变量的滞后项是否包含在另一个变量的方程中。对于n个变量的VAR有

式中：Ai0=截距项的参数，Aij（L）=滞后算子多项式，Aij（L）中的系数由aij（1），aij（2），···表示，eit是白噪声扰动，可以是相关的，方差、协方差矩阵用（n×n）矩阵Σ表示。

因为Aij（L）表示变量j关于变量i的滞后值的系数，所以如果多项式Aij（L）的所有系数等于零，则变量j不是变量i的Granger原因。

在具有p个滞后项的两变量模型中，yt不是zt的Granger原因当且仅当A21（L）的系数均为零。或者说，如果yt没有改进zt的预测效果时，那么yt不是zt的Granger原因。