内外生变量对阶和秩条件的影响及OLS法的一致估计

1．联立方程模型的概念

有时由于两个变量之间存在双向因果关系，例如在其中一个方程中，一个变量作为解释变量影响被解释变量，但在另一个方程中，解释变量与被解释变量的关系对调，解释变量成为被解释变量，此时用单一方程模型就不能完整的描述这两个变量之间的关系，需要用多个方程的组合来描述整个经济活动。因此，本节我们引入联立方程模型的概念。其对于实际经济问题，主要用于描述变量间联立依存性的方程体系。

提起联立方程，需要介绍几个定义，以方便介绍后文中识别方程时的阶条件和秩条件。内生变量（endogenous variable），即由模型内变量所决定的变量，外生变量（exogenous variable），是指由模型外变量所决定的变量，前定变量（predetermined variable），主要包括外生变量、外生滞后变量、内生滞后变量。

在构建联立方程模型时，我们遇到的最大问题是E（X′u）≠0，当用OLS法估计模型中的方程参数时会产生联立方程偏倚，即所得参数的OLS估计量是有偏的、不一致的。

例如：

式中：yt为内生变量；xt为外生变量；y1-t，xt，xt-1为前定变量。

联立方程模型必须是完整的。所谓完整即“方程个数≥内生变量个数”。否则联立方程模型是无法估计的。

2．联立方程模型的分类（结构模型，简化型模型，递归模型）

（1）结构模型（structural model）：把内生变量表述为其他内生变量、前定变量与随机误差项的方程体系。

例：如下凯恩斯模型（为简化问题，对数据进行中心化处理，从而不出现截距项）：

式中：ct消费；yt国民收入；It投资；Gt政府支出。α1，β1，β2称为结构参数。模型中内生变量有三个ct、yt、It，外生变量有一个Gt。内生滞后变量有一个yt-1。Gt，yt-1又称为前定变量。因模型中包括三个内生变量，含有三个方程，所以是一个完整的联立模型。

内生变量与外生变量的划分不是绝对的，随着新的行为方程的加入，外生变量可以转化为内生变量；随着行为方程的减少，内生变量也可以转化为外生变量。

（2）简化型模型（reduced-form equations）：把内生变量只表示为前定变量与随机误差项函数的联立模型。

仍以凯恩斯模型为例其简化型模型为，

或

式中：ct，yt，It为内生变量，yt-1，Gt为前定变量，πij，（i=1，2，3，j=1，2），为简化型参数。

用如下矩阵符号表示上式：

可以看出，结构模型参数与简化型模型参数之间存在函数关系。

此时，如果我们把结构模型中的内生变量全部移到方程等式的左边，得：

用矩阵形式表达：

用如下矩阵符号表示上式：

则

对上述模型进行比较，结构参数和简化型参数有如下关系存在：

式中：Α的伴随矩阵是Α的代数余子式组成的矩阵的转置。(https://www.xing528.com)

（3）递归模型（recursive system）：在结构方程体系中，每个内生变量只是前定变量和比其序号低的内生变量的函数。

式中：yi和xi分别表示内生变量和外生变量。其随机误差项应满足

3．联立方程模型的识别（identification）

构建联立方程模型时，如果存在内生变量作为模型中的解释变量，则其参数估计值不一定能利用简化参数的最小二乘估计值和参数关系式体系得到，或者说，即使我们能够得到结构参数的估计值，其值也不一定唯一。因此，在求解结构模型和结构方程时，存在三种情况，即唯一解、多个解、无解，对应于结构方程即模型恰好识别、过度识别和不可识别。

面对这种情况，我们在估计参数之前，需要判断结构方程是否可识别，具体的方法包括阶条件和秩条件。应当注意的是，识别问题是完整的联立方程模型所特有的问题，并且只有行为方程才存在识别问题，对于定义方程不存在识别问题。

识别问题不是参数估计问题，但是估计的前提，不可识别的模型则不可估计。同时，识别依赖于对联立方程模型中每个方程的识别，并且只要有一个方程是不可识别的，则整个联立方程模型是不可识别的。

识别方法：

①阶条件（order condition）。

不包含在待识别方程中的变量个数≥（联立方程模型中的方程个数-1）

阶条件是必要条件但不充分，即不满足阶条件是不可识别的，但满足了阶条件也不一定是可识别的。

②秩条件（rank condition）。

待识别方程的被斥变量系数矩阵的秩=（联立方程模型中方程个数-1）

秩条件是充分必要条件。满足秩条件能保证联立方程模型内每个方程都有别于其他方程。

识别的一般过程是（1）先考查阶条件，因为阶条件比秩条件判别起来简单。若不满足阶条件，识别到此为止。说明待识别方程不可识别。若满足阶条件，则进一步检查秩条件。（2）若不满足秩条件，说明待识别方程不可识别。若满足秩条件，说明待识别方程可识别，但不能判别可识别方程是属于恰好识别还是过度识别。对此还要返回来利用阶条件作判断。（3）若阶条件中的等式（被斥变量个数=方程个数-1）成立，则方程为恰好识别；若阶条件中的不等式（被斥变量个数＞方程个数-1）成立，则方程为过度识别。

4.联立方程模型的估计方法

递归模型的估计方法是OLS法。解释如下。首先看第一个方程。由于等号右边只含有外生变量和随机项，外生变量和随机项不相关，符合假定条件，所以可用OLS法估计参数。对于第二个方程，由于等号右边只含有一个内生变量y1，以及外生变量和随机项。根据假定u1和u2不相关，所以y1和u2不相关。对于y2来说，y1是一个前定变量。因此可以用OLS法估计第2个方程。以此类推可以用OLS法估计递归模型中的每一个方程。参数估计量具有无偏性和一致性。

简化型模型可用OLS法估计参数。由于简化型模型一般是由结构模型对应而来，每个方程只含有一个内生变量且为被解释变量。它是前定变量和随机项的唯一函数。方程中解释变量都是前定变量，自然与随机项无关。所以用OLS法得到的参数估计量为一致估计量。

对于结构模型有两种估计方法。一种为单一方程估计法，即有限信息估计法；另一种为方程组估计法，系统估计法，即完全信息估计法。前者只考虑被估计方程的参数约束问题，而不过多地考虑方程组中其他方程所施加的参数约束，因此称为有限信息估计方法。后者在估计模型中的所有方程的同时，要考虑由于略去或缺少某些变量而对每个方程所施加的参数约束。因此称为完全信息估计法。

显然对于联立方程模型，理想的估计方法应当是完全信息估计法，例如完全信息极大似然法（FIML）。然而这种方法并不常用。因为①这种方法计算工作量太大，②将导致在高度非线性的情况下确定问题的解，这常常是很困难的，③若模型中某个方程存在设定误差，这种误差将传播到其他方程中去。

所以对于联立方程模型常用的估计方法是单一方程估计法。常用的单一方程估计法有①间接最小二乘法（ILS），②工具变量法（IV），③两段最小二乘法（2SLS）。其中，ILS法只适用于恰好识别模型。具体估计步骤是先写出与结构模型相对应的简化型模型，然后利用OLS法估计简化型模型参数。因为简化型模型参数与结构模型参数存在一一对应关系，利用Π=A-1B可得到结构参数的唯一估计值。ILS估计量是有偏的，但具有一致性和渐近有效性。

当结构方程为过度识别时，其相应简化型方程参数的OLS估计量是有偏的，不一致的。

采用ILS法时，简化型模型的随机项必须满足OLS法的假定条件。vi～N （0，σ2），cov（vi，vj）=0。当不满足上述条件时，简化型参数的估计误差就会传播到结构参数中去。

2SLS法。对于恰好识别和过度识别的结构模型可采用2SLS法估计参数。2SLS法即连续两次使用OLS法。使用2SLS法的前提是结构模型中的随机项和简化型模型中的随机项必须满足通常的假定条件，前定变量之间不存在多重共线性。