点估计与有效估计量、最佳估计量、一致估计量的关系

设X为一随机变量，其概率密度函数为f（x，θ），其中θ为该分布的参数（为了简化，假定仅有一个未知参数）。假定已知概率密度函数的形式，即知道理论PDF，如是正态分布，但不知道θ的值。为估计θ的值，从这一已知的分布中抽取一个容量为n的随机样本，然后导出样本值的一个函数（公式）：

我们可以用该公式提供θ的真值的估计值。称为总体参数θ的估计量（estimator），该估计量所取的一个具体值称为θ的一个估计值（estimate）。显然，是一个随机变量，因为它是样本数据的函数。

统计性质：

估计量的统计性质可分为两类：小样本性质和大样本性质（渐近性质）。

（1）小样本性质。

①无偏性。如果估计量的期望值等于θ的真值，即

则为θ的无偏估计量；反之，则估计量是有偏估计量。

②有效性。如果和是θ的两个无偏估计量，且的方差小于等于的方差，那么为有效估计量，或者说比更有效。

若在θ的所有无偏估计量，我们能够找到一个具有最小方差的估计量，则称为θ的最佳估计量。

③最佳线性无偏性。如果估计量是诸样本观测值的一个线性函数，则称为θ的线性估计量。

如果是线性的、无偏的，并且它在θ的所有线性无偏估计量中具有最小方差，则称为θ的最佳线性无偏估计量（the best linear unbiased estimator，BLUE）。(www.xing528.com)

（2）大样本性质。

往往在小样本的情况下，一个估计量不满足某些小样本性质，但随着样本容量无限增大，该估计量就具有一些令人满意的统计性质，这些性质称为大样本性质或渐近性质。

①渐近无偏性。若对于估计量，有

则称为θ的渐近无偏估计量，其中N为样本容量。也就是说，当样本容量趋向于∞时，若参数θ的一个估计量的期望值趋向于θ的真值，则称为θ的渐近无偏估计量。

②一致性。如果当样本容量趋向无穷时，估计量趋向于θ的真值，则称为θ的一致估计量。

定义　如果

式中，P为概率，则称为θ的一致估计量。

上式通常用概率极限符号表示为

一个估计量是一致估计量的充分条件是

且