数字特征及其度量方法

虽然PDF指明了一个随机变量所取的值以及与这些值相联系的概率，但我们往往并不关注整个PDF，我们感兴趣的可能是该概率分布的某些概括性特征。最常用的两个概括性测度是期望值和方差。

（1）期望值。

离散随机变量X的期望值，用E（X）表示，定义为

式中，f（x）为X的概率密度函数。

由上述定义不难看出，随机变量的期望值是其所有可能的值的加权平均，权数是这些值的概率，离散随机变量的期望值也叫做它的均值。

连续随机变量的期望值定义为

它与离散随机变量期望值的区别是用积分号代替求和号。

性质：

①若b为常数，则E（b）=b；

②设X1，X2，…，Xn为随机变量，a1，a2，…，an和b为常数，则

③若X和Y为独立随机变量，则

（2）方差。

设X为一随机变量，且E（X）=μ，则X的方差定义为

σ2的正平方根σ称为X的标准差。方差和标准差描述的是随机变量诸值的分散程度，通常用来度量随机变量诸值对其均值的离中趋势。方差可用下式计算：(www.xing528.com)

性质：

①Var (X)=E[(X-μ)2]=E (X2)-μ2；

②常数的方差为0；

③若a和b为常数，则

④若X和Y为独立随机变量，则

（3）协方差。

若X和Y为两随机变量，均值分别为μx，μy，则两变量的协方差定义为

若X和Y为独立随机变量，则Cov（ X ，Y）=0。

（4）相关系数。

两随机变量X和Y的总体相关系数ρ定义为

相关系数是度量两变量之间线性关系强度的测度，其值在-1和+1之间，即-1≤ρ≤+1。

（5）相关变量的方差。

设X和Y是两个随机变量，则