思维导图在解决难题中的应用

所谓的难题，是指那些已知条件众多，考查知识点也比较多，且知识点之间的跨度比较大的试题。如果说简单试题不需要导图的帮助，中档试题只有部分需要导图的帮助，那么在对付难题时，思维导图也许就是你唯一能指望的援手了。

用思维导图解决难题有两个最明显的好处：第一，你可以用思维导图帮助你梳理乱成一团的已知条件，并迅速建立对题目的逻辑理解；第二，你可以从问题出发，一步一步地简化问题。也许你不知道A是什么，但是通过画思维导图进行推导，你发现A是B的一半，那么问题就简化成求出B了。但是你也不知道B是多少，怎么办？继续推导，看看B能够和哪些条件扯上关系，以此类推，直到推出已知条件。这也是我们前面曾经讲过的第二种解题策略：与直接从已知条件推导相比，从结果倒推已知条件要方便一些，不太容易走弯路。当然，为了节省时间，也可以在逆向推导遇到阻碍的时候，从已知条件进行辅助性的正向推导。

接下来我们看一道数学题。

【例题3】

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm。D、E分别为边AB、BC的中点，连接DE。点P从点A出发，沿折线AD-DE-EB运动，到点B停止。点P在线段AD上以cm/s的速度运动，在折线DE-EB上以1cm/s的速度运动。当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M在线段AQ上。设点P的运动时间为t（s）。

当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为______cm。（用含t的代数式表示）

图10-3

【分析】

这是一道典型的难题。题目中所给的已知条件非常多，我们不但知道“△ABC是直角三角形”，还知道AC、BC的边长。P点在AD段、DE段、EB段的速度也是已知条件。“正方形PQMN”这个条件看似轻描淡写，却蕴藏着众多隐藏的已知条件。从做题的角度讲，已知条件越多，对我们思维造成干扰的因素就越多，我们的思维走向岔路的可能性就越大。

从试题考查的知识点来看。单单从几何知识的角度，这道题就考查了三角形、正方形、平行线等几何知识。而且，与一般的几何试题不同，与设问紧密相关的点P是一直处于运动之中的。这意味着，我们无法用固定的数值来表示DP的长度。但是题目设问的最后一部分内容却透露出一个非常重要的信息——DP的长度可以用含t的代数式表示。t是什么？根据题目的描述，是P点的运动时间，而题目中又给了P点在不同阶段的运动速度。于是，我们可以判断出，这是一道由几何知识与物理知识综合而成的试题。对于初中阶段的学生来说，这道题涉及的知识点的跨度之大，也算得上登峰造极了。

那么，我们该从哪里入手来构建我们的解题思路呢？看思维导图10-4。(www.xing528.com)

【导图解题】

图10-4

首先，我们要尽可能从宏观的角度确定这道题的解题方向。从静态的角度看，点P处在线段DE上时，DP应该是DE与EP相减之差，这是我们做常规几何题的基本思路。但是在这道题中，由于P点一直处在运动之中，所以用静态的思路去尝试解决问题是不可能有结果的，我们必须要在第一时间迅速地否定静态角度的解题方向，否则我们就会浪费更多的时间。

接下来我们从动态的角度考虑。题目问的是DP的线段长度。“长度”这个词是从静态角度出发的一种描述。事实上，由于点P一直在运动，我们也可以把DP的长度理解为P点在一定时间内走过的距离。因此，求DP的长度，就等于求P在线段DE上走过的距离。

这是我们对题目问题的第一次简化。由“长度”到“距离”看似只是一个词汇的转换，却可以转换我们的思维，把“速度”这个重要的已知条件利用起来。我们都知道速度等于距离除以时间，由这个公式（我们在后面会反复运用）可以推导出，距离等于速度乘以时间。这与题目最后括号中的提示——“用含t的代数式表示”正好吻合。这说明我们刚才的思路是正确的。

上述推理意味着：想要知道DP的距离，我们只要知道DP段P点的速度和它花费的时间就可以了。由于题目中已经给了DP段的速度，所以未知的量只有一个，那就是P点走过DP段所花费的时间。于是，问题被简化成求P点在DP段走过的时间，即t（DP）。

我们怎样才能知道DP段的时间t（DP）是多少呢？回过头来看看已知条件吧！题干中唯一直接提到的时间就是P点运动的总时间，也就是从A点到P点所花费的时间。这个已知条件和我们要求的t（DP）是什么关系呢？是包含和被包含的关系。已知条件t，是t（AD）和t（DP）之和。也就是说，只要我们知道t（AD）是多少，我们就能算出最终的结果。问题再一次被简化。

计算t（AD）仍然需要用到速度公式，t（AD）等于P点在AD段的距离除以AD段的速度。AD段的速度是题中已经说到了的，而AD段的距离却是未知的。问题被简化成求AD段的距离，或者说是长度。

根据中位线定理，我们知道AD等于AB的一半。于是问题被简化成求AB的长。题中虽然没有给出AB的长度，但是却给出了Rt△ABC中另外两个边的边长，根据勾股定理，我们可以轻松地算出AB的长度，进而可以算出AD的长度，进而可以算出AD段花费的时间，进而可以算出DP段的时间，进而可以算出DP段的长度。

详细的计算过程，被收录于作者的博客中（http：//blog．sina．com．cn/ydy 135），大家可以自行登录浏览。顺便说一下，这道题的结果是“t-2”。

通过对三种不同难度的数学试题进行讲解，我们已经基本了解了思维导图在解题中的应用。接下来，我们将讲解如何利用思维导图来帮助我们攻克其他学科的习题。