函数极值及应用：求给定区间上的最大值和最小值

函数的极值及应用、函数的最值及应用.

【例4】　求函数f（x）=x3-3x2-9x+5在给定区间［-2，6］上的最大值和最小值：

解：f′（x）=3x2-6x-9=3（x2-2x-3）=3（x+1）（x-3），令f′（x）=0，解得x1=-1，x2=3.用x1=-1，x2=3将区间［-2，6］分成三个部分区间（-2，-1），（-1，3），（3，6），列表如下：

极大值f（-1）=（-1）3-3（-1）2-9（-1）+5=-1-3+9+5=10

极小值f（3）=33-3×32-9×3+5=27-27-27+5=-22

区间端点的函数值：

f（-2）=（-2）3-3（-2）2-9（-2）+5=-8-12+18+5=3

f（6）=63-3×62-9×6+5=216-108-54+5=59

比较上面4个数值，最大值为59，最小值为-22.

1.函数　有（　　　　）.

A.极大值f（3），极小值f（-1）　B.极大值f（-1），极小值f（3）

C.极大值f（-1），没有极小值　D.极小值f（-1），没有极大值

2.函数y=x2-2x+4在区间（-∞，1），（1，+∞）内分别是（　　）.

A.单调增加，单调减少　B.单调减少，单调增加

C.单调增加，单调增加　D.单调减少，单调减少

3.函数y=-x2+2x在（　　）.

A.（-∞，-1）内单调增加，（-1，+∞）内单调减少

B.（-∞，0）内单调增加，（0，+∞）内单调减少

C.（-∞，1）内单调增加，（1，+∞）内单调减少

D.（-∞，2）内单调增加，（2，+∞）内单调减少

4.求函数y=x3+x的单调区间.

5.求函数f（x）=（x2-1）3+1的极小值.

6.求函数f（x）=4x2（x2-2）在闭区间［-2，2］上的最大值和最小值.

7.求函数y=5+36x+3x2+4x3在闭区间［1，2］上的最值.

1.选择题

（1）函数y=x2+x+4在点（-1，4）处的切线的斜率为（　　）.

A.-1　B.-2　C.4　D.9

（2）函数y=x3+2x2-x+1在点（0，1）处的切线的倾斜角为（　　）.

（3）函数y=x4+x3在点（-1，0）处的切线方程为（　　）.

A.x+7y+1=0　B.7x+y+7=0

C.x-y+1=0　D.x+y+1=0

（4）函数y=x2-2x+3的一个单调区间是（　　）.

A.［0，+∞）　B.［1，+∞）　C.（-∞，2］　D.（-∞，3］

（5）函数y=2x2-8x+3有（　　）.(www.xing528.com)

A.极大值2　B.极小值-2　C.极大值-5　D.极小值-5

（6）函数f（x）=x3-6x2+9x-3的单调区间为（　　）.

A.（-∞，-3），（-3，1），（1，+∞）　B.（-∞，-1），（-1，3），（3，+∞）

C.（-∞，-3），（-3，-1），（-1，+∞）　D.（-∞，1），（1，3），（3，+∞）

（7）函数y=x3+x在（　　）.

A.（-∞，+∞）内单调增加

B.（-∞，+∞）内单调减少

C.（-∞，0）内单调增加，（0，+∞）内单调减少

D.（-∞，0）内单调减少，（0，+∞）内单调增加

（8）函数y=-x2+4x-3有（　　）.

A.最大值1　B.最大值2　C.最小值1　D.最小值2

（9）函数y=x3-3x+1在点P（1，-1）处的切线的斜率为（　　）.

A.2　B.1　C.-1　D.0

（10）函数y=x3-3x+1在闭区间［-2，0］上的最大值是（　　）.

A.-2　B.1　C.3　D.4

（11）函数y=x2e-x的极大值点是x=（　　）.

（12）函数y=2x2-lnx的单调增区间是（　　）.

（13）设函数y=x3-3x2+7，则函数在区间（-∞，0）和（0，2）内分别是（　　）.

A.增函数和增函数　B.增函数和减函数

C.减函数和增函数　D.减函数和减函数

（14）曲线y=x+ex在x=0处的切线方程是（　　）.

A.2x-y+2=0　B.2x-y+1=0　C.x-y+2=0　D.x-y+1=0

2.填空题

3.解答题：

（1）求曲线在指定点处的切线方程.

①y=x2+1，点（2，5）；　　②y=3x3-6x+2，点（1，-1）.

（2）求下列函数的单调区间.

①y=2x3+3x2-12x+1；　　②y=x2-2x+4.

（3）求下列函数的极值.

①y=x2-3x+10；　　②y=-2x2+4x-7；

③y=6+12x-x3.

（4）求函数f（x）=4-6x-x2-2x3在闭区间［0，1］上的最值.