节点类型对工序时差节点式算法的影响分析

下面我们来对自由时差进行分析，我们已经知道FFij=-EFij=-ESi-Tij，={ESxy}。而按照节点法计算，其计算公式为FFij=ESj-ESi-Tij。这两个自由时差的计算公式相等的前提为

因为工序（i，j）为实工序，所以其结束节点只可能为一般节点或虚出节点，下面就这两种情况对式（3-34）分别讨论。

（1）当工序（i，j）的结束节点为一般节点时，如图3-1中的节点j，此时工序（i，j）所有的紧后实工序被分为两类。第一类是所有直接以节点j为起始节点的实工序，如图3-1中的工序（j，k），这类紧后实工序的集合由TSij表示；第二类是所有以节点j为起始节点的虚工序的紧后实工序，如图3-1的工序（n，p）、（o，q）和（o，r），这类紧后实工序的集合由DSij表示。显然：

对于第一类紧后实工序TSij，其所有工序的最早开始时间的最小值用表示。从该集合中任取一个实工序（j，k）∈TSij，其起始节点定义为节点j，根据式（2-3），可知

由此可见该集合中所有工序的最早开始时间都为ESj。所以

对于第二类紧后实工序DSij，其所有工序最早开始时间的最小值用表示。这类紧后实工序的起点都是节点j的后续节点，这些后续节点由虚工序相连，其中以j为起始节点的虚工序的结束节点是这些紧后实工序最早可能的起点。由我们之前的结论可知，节点j的最早时间ESj小于等于这些紧后实工序的最早开始时间，即

由自由时差的计算公式及式（3-35）、式（3-37）和式（3-38）可得

由此可知式（3-34）成立，并得出以下结论。

结论3　对于任意一个实工序（i，j），当其结束节点为一般节点时，该节点的最早时间ESj同其所有紧后实工序的最早开始时间的最小值相同，即计算该工序自由时差的节点式算法正确。

（2）当工序（i，j）的结束节点为虚出点时，如图3-2中的节点j，此时工序（i，j）所有的紧后实工序都在节点j的紧后虚工序之后，如图3-2中的工序（n，p）、（n，k）、（o，q）和（o，r），这类紧后实工序的起点都是节点j的后续节点，这些后续节点由虚工序相连，其中由节点j引出的虚工序的结束节点是这些紧后实工序最早可能的起点。不妨设工序（n，p）的最早开始时间ESnp=ESn为这些实工序最小的最早开始时间。由于节点j的最早时间ESj小于等于其后续节点的最早时间，即

由此可知式（3-34）不成立，并得出以下结论。

结论4　对于任意一个实工序（i，j），当其结束节点为虚出节点时，该节点的最早时间ESj小于等于其所有紧后实工序的最早开始时间的最小值，即ESj≤，也就是说计算该工序自由时差的节点式算法不正确。

由结论3和结论4可知，对于任意一个实工序的自由时差，当其结束节点j为一般节点时，ESj=，节点式计算方法正确；当j为虚出节点时，ESj≤，节点式计算方法错误，其计算结果小于等于该工序的实际自由时差，需要修正。也就是说，自由时差节点式计算方法受到虚工序画法的影响，并不总是成立。

最后我们对安全时差的计算公式进行分析，由式（2-11）我们知道，SFij=LSij-，其中={LFxy}。由于LSij=LFij-Tij=LFj-Tij，因此安全时差的计算公式可以写成(www.xing528.com)

按照节点法计算，其计算公式为

对照式（3-41）和式（3-42）可知，保证式（3-42）正确的前提是

因为工序（i，j）为实工序，所以其开始节点只可能为一般节点或虚进节点。下面就这两种情况对式（3-43）分别讨论。

（1）当工序（i，j）的开始节点为一般节点时，如图3-1中的节点i，此时工序（i，j）所有的紧前实工序被分为两类。第一类是所有直接以节点i为结束节点的实工序，如图3-1中的工序（a，i），这类紧前实工序的集合由TPij表示；第二类是所有以节点i为结束节点的虚工序的紧前实工序，如图3-1中的工序（b，f）、（c，e）和（d，e），这类紧前实工序的集合由DPij表示。显然：

对于第一类紧前实工序TPij，其所有工序的最迟结束时间的最大值用表示。从该集合中任取一个实工序（a，i）∈TPij，由于该实工序的结束节点为i，由式（2-9）可知LFai=LFi，由此可见该集合中所有工序的最迟结束时间都为LFi。所以

对于第二类紧前实工序DPij，其所有工序最迟结束时间的最大值用表示。这类紧前实工序的结束节点都是节点i的前继节点，这些前继节点由虚工序相连，其中节点i的紧前虚工序的开始节点是这些紧前实工序最迟可能的结束节点。而节点i的最迟时间LFi大于等于这些紧前实工序的最迟结束时间，即

由安全时差计算公式及式（3-44）、式（3-45）和式（3-46）可得

由此可知式（3-43）成立，并得出以下结论。

结论5　对于任意一个实工序（i，j），当其开始节点为一般节点时，该节点的最迟时间LFi同其所有紧前实工序的最迟结束时间的最大值相同，即LFi=，也就是说计算该工序安全时差的节点式算法正确。

（2）当工序（i，j）的开始节点为虚进节点时，如图3-2中的节点i，此时工序（i，j）所有的紧前实工序都在节点i的紧前虚工序之前，如图3-2中的工序（a，f）、（b，f）、（c，e）和（d，e），这类紧前实工序的结束节点都是节点i的前继节点，这些前继节点由虚工序相连。其中节点i的紧前虚工序的开始节点是这类实工序最迟可能的结束节点。不妨设工序（a，f）的最迟结束时间LFaf=LFf为这些实工序的最迟结束时间的最大值。由于节点i的最迟时间LFi大于等于其前继节点的最迟时间，即

由此可知式（3-43）不成立，并得出以下结论。

结论6　对于任意一个实工序（i，j），当其开始节点为虚进节点时，该节点的最迟时间LFi大于等于其所有紧前实工序的最迟结束时间的最大值，即LFi≥，也就是说计算该工序安全时差的节点式算法不正确。

由结论5和结论6可知，当节点i为一般节点时，LFi=，节点式计算方法正确，当i为虚进节点时，由于LFi≥，节点式计算方法错误，其计算结果小于等于该工序的实际安全时差，需要修正。也就是说，节点式计算方法受到虚工序画法的影响，并不总是成立。