不相邻工序机动时间的传递性与稳定性新探索

在CPM网络计划中，由于工序机动时间中共用时差的存在，当一个工序使用了自身的机动时间后，它的紧前工序或紧后工序可能会因此而受影响，主要表现为自身机动时间的减少。那么，工序使用机动时间是否可能会进一步使它的其他前继工序或后继工序也受影响，如果会，受影响工序的数量是多少，以及分别会受到多大程度的影响等，这就是机动时间传递性问题。反之，工序使用机动时间在什么情况下可能不会对其他工序产生影响，这就是机动时间稳定性问题。

一个工序使用自身机动时间后，它的前继工序或后继工序中受影响的工序可能很多，也可能很少，并且各工序受影响的程度也是不一样的。可见，工序机动时间传递性问题是涉及工序与网络整体关系的关键性问题。如果解决了机动时间传递性问题，必然会促使对机动时间的认识和使用从局部上升到整体。但是，迄今为止国内外仍然缺乏对该问题进行系统的研究并得出合理的结论。这方面理论的空缺会导致对机动时间特性认识的局限性，对项目工序间相互关系的掌握不全面，并在实际中在对项目进度的控制上难免会出现失控的局面。为了后续章节研究内容的需要，本节主要对工序机动时间的传递性进行分析和研究，这也是不相邻工序机动时间之间的关系问题。

2.3.3.1　工序机动时间传递性的特点描述

在CPM网络计划中，可能存在这样的一些工序，当该工序的紧前工序使用机动时间时，不但可能使该工序的机动时间减少，而且可能使该工序的紧后工序的机动时间也减少，即这样的工序可以把它的紧前工序使用机动时间的影响作用传递给它的紧后工序。反之亦然。

2.3.3.2　工序具有机动时间传递性的充分必要条件

工序具有机动时间传递性的充分必要条件是：该工序拥有机动时间传递量。

证明：

（1）先证明该条件的充分性。

根据时差的概念可知，具有紧前紧后关系的两工序之间相互影响的范围是它们的共用时差。再根据定义，机动时间传递量是工序前共用时差和后共用时差的交叉部分，若工序拥有机动时间传递量，则该工序在机动时间传递量范围内既受紧前工序影响，又影响紧后工序；既受紧后工序影响，又影响紧前工序。所以，若该工序的紧前（后）工序对共用时差的使用使该工序被迫使用自身的机动时间，当使用到机动时间传递量时，它的紧后（前）工序也开始被迫使用自身的机动时间。可见，若工序没有机动时间传递量，即它的前共用时差和后共用时差没有交叉部分，该工序的紧前（后）工序对该工序前（后）共用时差的使用不会使该工序被迫使用自身的后（前）共用时差，那么该工序也不会使它的紧后（前）工序被迫使用自身的机动时间。所以，工序拥有机动时间传递量是该工序具有机动时间传递性的充分条件。

（2）再证明该条件的必要性。

由充分性的证明可知，若工序具有机动时间传递性，说明该工序的紧前工序和紧后工序的机动时间有交叉的部分，根据机动时间传递量的概念，说明该工序拥有机动时间传递量。所以工序拥有机动时间传递量也是该工序具有机动时间传递性的必要条件。

上述证明可知，工序具有机动时间传递性的充分必要条件是：该工序拥有机动时间传递量。

2.3.3.3　单个工序机动时间传递性分析

单个工序机动时间传递量的存在与否决定了该工序是否具备机动时间的传递性，那么在什么情况下工序机动时间传递量才会存在？本书在该节将给出机动时间传递量存在的充分必要条件。

定理2.5　机动时间传递量存在的充分必要条件有以下四个，并且相互等价：①ΔIFij＞；②＞ΔFFij；③TFij＜TFi+TFj；④TFij＞ΔFFij+。

证明：依次证明各条件的充分必要性。

(1)ΔIFij＞

1）条件的充分性。

已知ΔIFij＞，欲证工序（i，j）的机动时间传递量（I|I）ij存在。

根据（I|I）ij的定义，有

因为ΔIFij＞，所以ΔIFij-＞0，故

由此可知，工序（i，j）的机动时间传递量（I|I）ij存在。

2）条件的必要性。

已知工序（i，j）的机动时间传递量（I|I）ij存在，欲证ΔIFij＞。

因为工序（i，j）的（I|I）ij存在，故（I|I）ij＞0，即

所以

(2)＞ΔFFij

1）条件的充分性。

已知＞ΔFFij，欲证工序（i，j）的机动时间传递量（I|I）ij存在。

根据（I|I）ij的定义，有

因为＞ΔFFij，所以-ΔFFij＞0，故

由此可知，工序（i，j）的机动时间传递量（I|I）ij存在。

2）条件的必要性。

已知工序（i，j）的机动时间传递量（I|I）ij存在，欲证＞ΔFFij。

因为工序（i，j）的（I|I）ij存在，故（I|I）ij＞0，即

所以

(3)TFij＜TFi+TFj

1）条件的充分性。

已知TFij＜TFi+TFj，欲证工序（i，j）的机动时间传递量（I|I）ij存在。

根据（I|I）ij的定义，有

因为TFij＜TFi+TFj，所以（TFi+TFj）-TFij＞0，故

(I|I)ij=max{TFi+TFj-TFij,0}=TFi+TFj-TFij＞0

由此可知，工序（i，j）的机动时间传递量（I|I）ij存在。

2）条件的必要性。

已知工序（i，j）的机动时间传递量（I|I）ij存在，欲证TFij＞TFi+TFj。

因为工序（i，j）的（I|I）ij存在，故（I|I）ij＞0，即

(I|I)ij=max{TFi+TFj-TFij,0}=TFi+TFj-TFij＞0

所以

TFij＜TFi+TFj

(4)TFij＞ΔFFij+

1）条件的充分性。

已知TFij＞ΔFFij+，欲证工序（i，j）的机动时间传递量（I|I）ij存在。

根据（I|I）ij的定义，有

因为TFij＞ΔFFij+，所以TFij-（ΔFFij+）＞0，故

由此可知，工序（i，j）的机动时间传递量（I|I）ij存在。

2）条件的必要性。

已知工序（i，j）的机动时间传递量（I|I）ij存在，欲证TFij＞ΔFFij+。

因为工序（i，j）的（I|I）ij存在，故（I|I）ij＞0，即

所以

上面已经证明了条件（1）、（2）、（3）、（4）是成立的，接下来，将证明这四个条件是等价的。

只需证明（1）⇒（2）⇒（3）⇒（4）⇒（1），即可证明这四个条件的等价性。

“（1）⇒（2）”，即已知ΔIFij＞，欲证＞ΔFFij。

因为ΔIFij＞，故

即

“（2）⇒（3）”，即已知＞ΔFFij，欲证TFij＜TFi+TFj。(www.xing528.com)

因为＞ΔFFij，故

即

TFi+TFj＞TFij

“（3）⇒（4）”，即已知TFij＜TFi+TFj，欲证TFij＞ΔFFij+。

因为TFij＜TFi+TFj，故

即

故

“（4）⇒（1）”，即已知TFij＞ΔFFij+，欲证ΔIFij＞。

因为TFij＞ΔFFij+，故

即

由上述证明可知，条件（1）、（2）、（3）、（4）是等价的。

证毕。

2.3.3.4　多个工序机动时间传递性分析

1.多个具有机动时间传递量的工序的机动时间传递性分析

设路线

其中，A，B1，B2，…，Bk，C皆为具有机动时间传递量的工序，那么，机动时间在它们之间会如何传递。我们可以得到该种情况下关于机动时间传递性的以下六个方面结论。

（1）若＞+++…+，则当工序A使用完后，不但工序B1，B2，…，Bk的机动时间会减少，而且工序C的机动时间也会减少，即工序A使用的机动时间的影响通过工序B1，B2，…，Bk的传递作用，使工序C的机动时间减少。

（2）若++…+＜≤++…+，则当工序A使用完后，工序B1，B2，…，Bk的机动时间减少，但工序C的机动时间不变。

（3）若ΔIFC＞ΔFFB1+ΔFFB2+…+ΔFFBk，则当工序C使用完ΔIFC后，不但工序B1，B2，…，Bk的机动时间会减少，而且工序A的机动时间也会减少，即工序C使用机动时间的影响通过工序B1，B2，…，Bk的传递作用，使工序A的机动时间减少。

（4）若ΔFFB1+ΔFFB2+…+ΔFFBk-1＜ΔIFC≤ΔFFB1+ΔFFB2+…+ΔFFBk，则当工序C使用完ΔIFC后，工序B1，B2，…，Bk的机动时间减少，但工序A的机动时间不变。

（5）若TFB1+TFB2+…+TFBk＜TFj+TFa+TFb+TFc+…+TFd+TFe，则当工序A使用完机动时间后，工序C的机动时间会减少；反之，当工序C使用完机动时间后，工序A的机动时间会减少，即工序A与C是相互影响的。

（6）若TFB1+TFB2+…+TFBk≥TFj+TFa+TFb+TFc+…+TFd+TFe，则当工序A使用完机动时间后，工序C的机动时间不变；反之，当工序C使用完机动时间后，工序A的机动时间也不变。

2.上述结论的正确性分析

下面依次对上述六个机动时间传递性结论的正确性进行分析。

（1）对结论1的分析。由假设可知，设任意路线为

因为A，B1，B2，…，Bk，C都是具有机动时间传递量的工序，所以它们都具备机动时间的传递性特点。根据2.3.3.3节中分析的单个工序机动时间传递性特点，若＞，则

当工序A使用完后，即=，工序B1的机动时间减少，并且正好使用完了自身的机动时间传递量。

根据机动时间传递量的概念，工序B1使用了自身的后共用时差，并且使用量等于它的机动时间传递量，即

此时，它的紧后工序B2也被迫使用了自身的机动时间，即自身的机动时间减少。

若＞+，即-=＞，可知，当被使用完后，

因此，工序B2也使用完了自身的后单时差，并随即使用了自身的后共用时差。由上述可知，此时，工序B2的紧后工序B3也被迫使用自身的机动时间，即自身的机动时间减少。

以此类推，假设＞+++…+，当被使用完后，

因此，工序Bk-1也使用完了自身的后单时差，并随即使用了自身的后共用时差。此时，工序Bk-1的紧后工序Bk也被迫使用自身的机动时间，即自身的机动时间减少。

若＞+++…++，当被使用完后，

因此

由上述可知，工序Bk也使用完了自身的后单时差，并随即使用了自身的后共用时差。此时，工序Bk的紧后工序C也被迫使用自身的机动时间，即自身的机动时间减少。可见，工序A使用机动时间的影响通过工序B1，B2，…，Bk的传递作用，使工序C的机动时间减少。

（2）对结论2的分析。由结论1的说明可以看出，若

说明当工序A使用完后，工序B1，B2，…，Bk-1的机动时间都减少，同时工序Bk-1使用了自身的后共用时差，它的紧后工序Bk的机动时间也减少，因此工序B1，B2，…，Bk的机动时间减少。但是

说明工序Bk没有使用完自身的后单时差，或刚好使用完。根据工序机动时间的组成以及工序结束时间的推迟对机动时间的使用顺序可知，工序Bk没有使用自身的后共用时差，那么该工序的紧后工序C不会受其影响而使用自身的机动时间。

（3）对结论3、结论4的分析。结论3和结论4与结论1和结论2类似，这里省略不写。

（4）对结论5的分析。由于路线μ为

根据各时差的计算公式可得

所以，已知条件

TFB1+TFB2+…+TFBk＜TFj+TFa+TFb+TFc+…+TFd+TFe

即

由结论1可知，当工序A使用完机动时间后，工序C的机动时间会减少。

又由于

所以，已知条件

TFB1+TFB2+…+TFBk＜TFj+TFa+TFb+TFc+…+TFd+TFe

即

由结论3可知，当工序C使用完机动时间后，工序A的机动时间会减少。所以，工序A和C是相互影响的。

（5）对结论6的分析。由结论5的说明可知，若

TFB1+TFB2+…+TFBk＜TFj+TFa+TFb+TFc+…+TFd+TFe

可得

ΔIFC＞ΔFFB1+ΔFFB2+…+ΔFFBk

因此，由式（2-27）、式（2-28）可以推出，若

TFB1+TFB2+…+TFBk≥TFj+TFa+TFb+TFc+…+TFd+TFe

可得

由结论2可知，当工序A使用完机动时间后，工序C的机动时间不变。

再由式（2-29）、式（2-30）可以推出，若

TFB1+TFB2+…+TFBk≥TFj+TFa+TFb+TFc+…+TFd+TFe

可得

由结论4可知，当工序C使用完机动时间后，工序A的机动时间不变。