版权投标者的策略优化与均衡

在本节假设的二维属性拍卖模型中，投标者面临着如何投标来使自身期望效用最大化的问题。在上述假设条件下，价格属性和期限属性对买卖双方都是相互偏好独立的，也就是说投标者选择的期限属性与价格属性独立，期限属性q只取决于投标者自己对版权的估价和私人成本。假设投标者都是理性的，为了确定最优期限属性，投标者会将其最优期限q设为引理1中的值。

引理1：效用函数和成本参数给定的条件下，投标者只根据自己的成本参数选择使自身估价函数最大的最优期限属性：

通过选定引理1中最优的期限值q来确定对拍卖版权的估价，再通过第一价格密封拍卖的均衡策略选择投标价格b，进而将二维属性的拍卖模型转化成为单属性的第一价格密封拍卖。该引理对公开拍卖和密封拍卖的条件都能成立，具体证明参考Che（1993）^[2]。

在确定的最优期限属性qB（θ）下，投标者的估价在该期限属性值下达到极大，因此有：

根据包络定理，有：

显然投标者的成本函数关于成本参数θ和期限属性q都是递增的，因此最终实际估价函数v（θ）关于θ是单调递减的，且满足v，由θ服从函数为F（θ）的分布可以得到v（θ）的分布函数，设v（θ）的分布函数H（v），v（θ）的反函数为φ（v），则有H（v）＝1-F[φ（v）]。

定理1：将二维属性的风险规避型竞标者均衡策略转化为单属性拍卖模型后，考虑带有风险规避型效用函数的投标者的第一价格密封拍卖模型，则

（i）投标者的贝叶斯纳什均衡投标策略组合为，其中价格属性投标策略为：

（ii）均衡的投标价格关于成本参数递减，关于风险规避程度递增，同时当投标者参与人数趋近于无穷大，其投标价格策略趋近于真实估价。而投标期限通过成本函数对投标价格产生抑制影响，即qB增加，最终使得b（v）减少。

（iii）投标者参与人数不变的情况下，预期收益与风险规避系数和成本参数都呈反向变动。

证明：（i）由第一价格密封拍卖模型中的投标者i对称性考虑投标者的价格属性策略，假设其他投标者都采用相同的投标策略函数为简化设投标者i的估价为v，报价策略为b（x），则他的期望效用为：(www.xing528.com)

在第一价格密封拍卖模型的假设下报价策略函数b（x）关于估价是递增的，贝叶斯均衡的条件为当x＝v时期望效用获得极大值，设EUBS＝，因此有：

投标者的期望效用在x＝v时等于0，进而由式7-30求出：

价格属性投标策略的初始边界条件为b（0）＝0，b（v）＝v，对解式7-31微分方程得到投标价格策略的解：

因此定理1（i）得证，为投标者i的最优均衡策略投标组合。

（ii）由求出的最优均衡价格策略：

（iii）由式7-28和式7-29可以看出，投标者的预期收益为：

显然，估价函数关于成本参数θ递减，成本上升的时候等式右边积分区间减小，从而预期收益减少。在投标者参与人数不变的情况下，当风险规避程度上升，预期收益增加，运用（ii）中的方法同理可以得到预期收益是关于σ的增函数，即预期收益与成本参数和风险规避系数都呈反向变动。定理1证毕。

从式7-29，显然能看出b′（v）＞0，均衡投标策略中的价格属性关于估价函数严格递增，即投标者对版权的估价越高，则越有可能拍出较高的价格。由定理1的结论（ii）中可以看出，从版权拍卖者的角度来说，应想方设法地吸引更多的出版单位参与到拍卖中，比如在拍卖前大力宣传等，使得拍价提高来接近投标者的估价。与此同时，投标期限的选择对出价有着抑制影响，即要想延长期限就需要相应地提高出价，因为期限对竞标价格产生的复杂影响是通过成本函数和估价函数发生的，其中成本函数关于期限递增而估价函数则递减，由于本书假设投标者对于期限和价格属性的投标相互独立，因此均衡价格策略的模型是在引理1确定期限属性的基础上建立起来的。

另外需要注意的是在结论（iii）中，投标者开出的价格策略与自身成本参数以及风险厌恶程度息息相关。成本参数偏高会导致预期收益偏低，当版权拍卖者在拍卖前开出的期限过高时，投标者所面临的风险就会加大，或者说当出版单位缺乏成本竞争优势时，会导致竞标者出价降低，使得投标者可能无法赢得拍卖。除此之外，对风险的厌恶程度过高还会使得投标者抬高报价来获得版权。