合情推理与演绎推理:优化推理的方法

合情推理(Plausible reasoning)即根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再经过归纳、类比，然后提出猜想，合情推理包括归纳推理和类比推理.

演绎推理即从一般性原理出发，推出某个特殊情况下的结论，是由一般到特殊的推理.

例1　(1)观察下列等式：

12=1

12-22=-3

12-22+32=6

12-22+32-42=-10

…

照此规律，第n个等式可为________；

(2)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形为记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：

三角形数

正方形数　N(n,4)=n2,

五边形数

六边形数　N(n,6)=2n2-n,

…

可以推测N(n,k)的表达式，由此计算N(10,24)=________.

解题策略　合情推理的意思是“合乎情理”的推理，前提为真，结论可能为真的推理叫合情推理，它是一种或然性推理，得出的结论可能为真，也可能为假，本例两小题，在数与式的归纳中考查合情推理.第(1)问，归纳总结时，观察等号左边式子的变化规律，右边结果的特点，然后归纳出一般结论，弄清行数、项数及其变化规律是解答本题的关键.第(2)问，题中给出的是一组数，呈现一定的规律，采用从特殊到一般的思维方法，分两步走，第一步：观察N(n,3),N(n,4),N(n,5)，N(n,6)，归纳出N(n,k)；第二步：计算N(10,24),也可以观察探知N(n,k)(k≥3)的系数，是等差数列，可设N(n,k)=akn2+bkn(n≥3).

解：(1)把已知等式与行数对应起来，则每一个等式左边的式子依次是自然数的平方相加减，个数是n个；等式右边可转化为自然数前n项和，再依次加上“+、-”符号.

行数　　　等式

12=1　　　1　　　12=1

12-22=-3　　　2　　　12-22=-(1+2)

12-22+32=6　　　3　　　12-22+32=1+2+3

12-22+32-42=-10　　　4　　　12-22+32-42=-(1+2+3+4)

所以

(2)解法一　由

推测

从而N(n,24)=11n2-10n,N(10,24)=1000，故填1000.

解法二　设N(n,k)=akn2+bkn(k≥3).

其中{ak}是以为首项，为公差的等差数列，即则为首项，为公差的等差数列，即则b24=-10，所以N(n,24)=11n2-10n(n≥3).

当n=10时，N(10,24)=11×102-10×10=1000.

例2　已知a,b,c∈R,求证：a2+b2+c2≥ab+bc+ca.

解题策略　证明中的论题给出了要证明什么；证明中的论据给出用什么来证明；证明中的论证给出是怎样证明的.

论题、论据、论证可看作证明中的三要素.

证明时要求论题真实、论据确凿、论证严密.

证明的表达方式：在证明的具体表述时基本上都采用“三段论”方式.它包括：

(1)大前提——已知的一般性原理.

(2)小前提——所研究的特殊情况.

(3)结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断.

通常对于较复杂的论证，总是采用一连串的“三段论”方式，把前一个三段论的结论作为下一个三段论的前提，当然，为了表达方便，一般都省略了大前提，甚至在某些情况下可以省略小前提，本例首先完整地显示各个三段论，再给出简略的证明过程.

让我们领会一下法国数学家、哲学家庞加莱(J.H.Poincaré,1854—1912)的一段话，加深对演绎推理的理解，他说：“数学证明不是三段论的简单排列，而是由被安置在确定序中的三段论组成，这个序比排列于其中的元素重要得多，如果对着序，比方说，有某种感受或某种直觉，我们就能从总体上一下子领悟到整个推理.”

证明　❶因为一个实数的平方是一个非负数，

(大前提)

a∈R,b∈R

(小前提)

所以(a-b)2≥0.

(结论)

❷因为不等式的两边同时加上一个数或等式，不等式仍成立，

(大前提)

(a-b)2≥0,2ab=2ab，

(小前提)

所以a2+b2≥2ab，

❸同理，b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca.(www.xing528.com)

❹因为同向不等式相加，所得不等式与原不等式同向，

(大前提)

a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca.

(小前提)

所以(a2+b2)+(b2+c2)+(c2+a2)≥2ab+2bc+2ca,

即2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca).

(结论)

❺因为不等式的两边除以同一个正数，不等式仍成立，

(大前提)

2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca)，

(小前提)

所以a2+b2+c2≥ab+bc+ca.

(结论)

上述证明过程通常可以简略地表述为：

因为a∈R,b∈R,所以(a-b)2≥0,所以a2+b2≥2ab,

同理b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca.

所以(a2+b2)+(b2+c2)+(c2+a2)≥2ab+2bc+2ca，

所以2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca),即a2+b2+c2≥ab+bc+ca.

例3　数列{an}的前n项和记为Sn，已知

求证：(1)数列是等比数列；

(2)Sn+1=4an.

解题策略　第(1)问，可由等比数列的定义及Sn与an的关系加以证明；第(2)问可由第(1)问的结论作为大前提继续运用演绎推理“三段论”推出.演绎推理是数学逻辑思维的主要形式，担负着判断命题真假的主要使命，如果说合情推理是以感性思维为主，只需有感而发，那么演绎推理则以理性思维为主，要求言必有据.

证明　(1)因为

所以(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),即nSn+1=2(n+1)Sn,所以

故是以1为首项，2为公比的等比数列.

(2)由(1)可知

所以

又因为a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1.

所以对于任意正整数n,都有Sn+1=4an.

例4　(1)(蝴蝶定理)过圆AB弦的中点M任意作两弦CD和EF，CF与ED交弦AB于点P，Q，求证：PM=QM；

(2)已知任意二次曲线S，AB是曲线S的弦，O是AB的中点，过点O任意作弦CD，EF，过点C，D，E，F另作一条任意二次曲线t，如果曲线t与直线AB交于点P，Q，求证：|OP|=|OQ|.

解题策略　本例两小题是演绎推理的证明方法在解析几何中的应用，第(1)问，运用曲线系证明蝴蝶定理比用平面几何知识证明要简便许多.第(2)问是平面几何蝴蝶定理的推广，从圆一步飞跃到任意的二次曲线，联结圆上四点的两直线CF和DE边直接换成一般的二次曲线，从蝴蝶定理的特殊图形里看到一般的二次曲线，升级换代、一次到位，不是拾级而上，而是直上高楼，美景无限，下面先从如图13-1所示图形看一看，里面是否隐藏着一只飞舞的蝴蝶？

图13-1

解：(1)如图13-1(a)所示，以M为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，

设圆方程为x2+(y-b)2=r2(|b|<r).

设直线CD，EF的方程分别为y=k1x,y=k2x,将它们合并为(y-k1x)(y-k2x)=0，于是过C，D，E，F的曲线系方程为

x2+(y-b)2-r2+λ(y-k1x)(y-k2x)=0.

令y=0,得(1+λk1k2)x2+b2-r2=0,即过点C，D，E，F的曲线系与AB交于点P，Q的横坐标是方程(1+λk1k2)x2+b2-r2=0的两根，由韦达定理得xP+xQ=0,即M是PQ的中点，故PM=QM.

(2)证明　如图13-1(b)所示，取直线AB为y轴，O为原点，AB方向为y轴的正方向建立直角坐标系.

设|OA|=|OB|=a,则点A的坐标为(0,-a)，点B的坐标为(0,a).

∵二次曲线S通过点A(0,-a),B(0,a),

∴在曲线S的方程中，当x=0时，应有y2=a2.

因而二次曲线S的方程形如：Ax2+Bxy+y2+Dx-a2=0　　①

又弦CD，EF都通过原点O，且与直线AB相交(因而都不是y轴)，

∴可设它们的方程分别为y=k1x,y=k2x,

这一对直线CD和EF合在一起，可以看成一条退化二次曲线u,其方程为

(y-k1x)(y-k2x)=0　　②

曲线①和②相交于点C，D，E，F，利用曲线系知识，通过C，D，E，F的二次曲线系的方程为(Ax2+Bxy+y2+Dx-a2)+λ(y-k1x)(y-k2x)=0　　③

若曲线③中的一条二次曲线t交y轴于点P(0,y1)和点Q(0,y2),

则在③式中，以x=0代入，得(1+λ)y2-a2=0　　④

y1和y2应是所得二次方程④的两个实数根，由二次方程根与系数的关系，得y1+y2=0.∴y1=-y2,即|OP|=|OQ|.