用不完全归纳法猜想，并以完全归纳法证明

从观察一些特殊的简单的问题入手，根据它们所体现的共同性质，运用不完全归纳法作出一般命题的猜想，由于这个猜想是通过试验、观察、分析、综合、抽象概括出来的，其缺点是探索得到的猜想不一定正确，需要加以证明，而数学归纳法只能对所发现的结论正确与否加以论证，不能直接发现结论，因此，将不完全归纳法与数学归纳法并举是一种探讨数学问题的好方法，从而就有了“归纳—猜想—证明”题型，它是一个完整的思维过程，是人们从事科学研究，认识发现规律的有效途径，归纳是“猜想”的前提，它体现了由“特殊”到“一般”的转化，为了增强“猜想”结论的可靠性，在“归纳”阶段，一般应多演算几种特殊情形，然后通过对特殊的情形的分析去研究其一般规律，最后结论的正确性必须用数学归纳法证明.当然，有些题也可以由特殊到一般进行分析论证.

例1　(1)观察下表：

1=1

3+5=8

7+9+11=27

13+15+17+19=64

21+23+25+27+29=125

…

推测由上表各行所提示的一般规律，用适当的数学记号表达并加以证明.

(2)观察下列各式：

①

②

③

④

…

根据以上信息，猜想一般规律，并加以证明.

解题策略　不完全归纳法是从对个别命题或特殊论断的探讨与分析中，猜测普遍命题或一般结论的方法，猜测所得的结论可能正确也可能不正确，需要加以证明，可以运用数学归纳法证明(与自然数n相关的命题)，也可以利用合情推理作出猜想，用演绎推理进行证明.本例两小题侧重于讨论发现过程，运用演绎推理证明，第(1)问，观察给出的一系列等式，不难发现右边为n3(n为第n个等式)，左边是公差为2的等差数列之和，解题关键是探究出其首项与n的关系，得出猜想，然后证明.第(2)问，猜想结果并不困难，应用归纳推理需要进行三角恒等变形，并按奇偶分类证明.

解：(1)由观察可知，各等式右侧的数依次为13，23，33，43，53，…，可猜测第n行等式右侧的数为n3.

对于左侧，第n行应是n个奇数之和，各行的第一个奇数依次为1，3，7，13，21，…，进一步可写成0+1，2+1，6+1，12+1，20+1，…，即0×1+1，1×2+1，2×3+1，3×4+1，4×5+1，…

故可猜想第n行左侧第一个奇数为(n-1)n+1，进而后续奇数依次为(n-1)n+3,(n-1)n+5,…,(n-1)n+(2n-1),

于是第n行等式可猜想为：

[(n-1)n+1]+[(n-1)n+3]+[(n-1)n+5]+…+[(n-1)n+(2n-1)]=n3.

即(n2-n+1)+(n2-n+3)+…+(n2+n-1)=n3.

该等式的证明如下：

左边右边.

(2)根据题目给出的信息，猜想一般规律为：

证明　由二倍角正弦公式

据此可得

当n为偶数时，则有

原式

注意到以下这些角互补，即

同理可得当n为奇数时结论亦成立.

例2　已知函数y=f(x)与函数的图像关于直线y=x对称.

(1)在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，an>a1，在数列{bn}中，b1=2，Sn=b1+b2+…+bn，若点在函数f(x)的图像上，求a的值；

(2)在(1)的条件下，过点Pn作倾斜角为的直线ln，ln在y轴上的截距为求数列{an}的通项公式.

解题策略　本例是一道以数列为载体的能力题，结合函数与解析几何的一些知识，其解题核心是“观察、猜测、抽象、概括、证明”，这是发现问题和解决问题的重要途径.实际上，数学中的难点一般都是在观察归纳、猜测证明的过程中得以突破的.

解：(1)因为函数f(x)是的反函数，所以

因为点在函数f(x)的图像上，所以　　①

令n=1,得则a=1.

(2)由(1)得a=1,①式可化为　　②

直线ln的方程为：

因为ln在y轴上截距为所以

结合②式可得　　③

由②式可知，当自然数n≥2时，

两式作差得结合③式得

　　④

在④式中，令n=2,结合a1=1，可解得a2=1或2，

又因为当n≥2时，an>a1,所以a2=2.

同理，在④式中，依次令n=3,n=4,可解得a3=3,a4=4.

由此猜想an=n,然后用数学归纳法证明如下：

❶当n=1,2,3时，已证成立；

❷假设当n=k时命题成立，即ak=k(k∈N*,且k≥3),

当n=k+1时，由④式可得

把ak=k代入，解得或k+1.

由于k≥3,则所以不符合题意，应舍去，故只有ak+1=k+1,则当n=k+1时命题也成立.

综上可知，数列{an}的通项公式为an=n.

例3　已知数列{an}，{bn}分别满足

(1)求a2，a3，猜想并证明{an}的通项公式；(www.xing528.com)

(2)若证明：c1c2…cn<2·n!

解题策略　解决“归纳—猜想—证明”类问题以及不等式的证明时，容易有以下几点误区.

(1)在运用不完全归纳法猜想时，由于归纳整理不到位或中间某环节出现运算错误，从而给猜想造成困难.

(2)证明n=k到n=k+1这一步时，忽略了假设条件去证明，造成不是“纯正”的数学归纳法或者可以说是完全归纳法过程中有缺失.

(3)不等式证明过程中，不能正确合理地运用分析法、综合法来求证，或者当直接用数学归纳法证明不等式有困难时，不会通过先证明加强不等式(可能找不到)来达到证明原不等式的目的.

解：(1)由得

猜想下面用数学归纳法证明：

❶当n=1时，左边右边猜想成立；

❷假设当n=k时猜想成立，即

则当n=k+1时，故当n=k+1时，猜想也成立.

由❶❷，可得对成立.

(2)由知，

所以即

而所以

故欲证c1c2…cn<2·n!,等价于证明即证明

证法一　当n=1时，不等式显然成立；当n≥2时，先证明加强不等式：

❶当n=2时，左边即不等式成立；

❷假设n=k时不等式成立，即

则当n=k+1时，

　　①

因为所以从而有所以①式故当n=k+1时，结论成立.

由上及数学归纳法可得，n≥2时，

故有所以得证.

证法二　先证明加强不等式

❶当n=1时，左边不等式成立；

❷假设n=k时不等式成立，即则当n=k+1时，

故当n=k+1时，结论成立.

由数学归纳法可得，故有所以得证.

例4　如图12-3所示，已知动圆与直线y=-3相切，并与定圆x2+y2=1相内切.

图12-3

(1)求动圆圆心P的轨迹C的方程；

(2)过原点作斜率为1的直线交曲线C于P1(P1为第一象限点)，又过P1作斜率为的直线交曲线C于P2，再过P2作斜率为的直线交曲线C于P3，……，如此继续，过Pn作斜率为的直线交曲线C于Pn+1，设Pn(xn,yn).

❶令bn=x2n+1-x2n-1，求证：数列{bn}是等比数列；

❷数列{bn}的前n项和为Sn，试比较与的大小.

解题策略　本例以解析几何为载体，重点突出数学归纳法的应用，感知“观察→归纳→猜想→证明”的思考与解决的过程，体验其中所呈现的数学之美.

解：(1)由题意知，点P到原点的距离等于点P到直线y=-2的距离，由抛物线定义知，点P轨迹是以原点为焦点，直线y=-2为准线的抛物线，其轨迹方程为x2=4(y+1).

(2)❶设Pn(xn,yn),Pn+1(xn+1,yn+1)，则

因为直线PnPn+1的斜率为有

所以即

所以bn=x2n+1-x2n-1

=(x2n+1+x2n)-(x2n+x2n-1)

所以数列{bn}是以-1为首项，为公比的等比数列.

❷由 ❶知所以

所以下面只要比较4n与3n+10的大小；

当n=1时，4<13，有4n<3n+10；当n=2时，16=16，有4n=3n+10;

当n=3时，64>19，有4n>3n+10；猜测当n≥3,n∈N时，4n>3n+10.

证法一　用数学归纳法证明，当n≥3,n∈N时，4n>3n+10.

(i)当n=3时，已成立；

(ii)假设当n=k(k>3,n∈N)时，4k>3k+10.

则当n=k+1时，4k+1=4·4k>4(3k+10)=[3(k+10)+10]+9k>3(k+1)+10,

即当n=k+1时，4n>3n+10也成立.

由(i)(ii)知，当n≥3，n∈N时，4n>3n+10都成立.

证法二　利用二项式定理，得