思维类比法：解决推广性问题的有效方法

数学的创造能力一般指对已经掌握的数学知识、方法进行推广和拓展，对未知的数学领域通过探索得到新的结果的能力，而类比法就是这种创造能力的一个方面、一种体现，通过类比可以由此及彼发现新问题，总结新规律，也可以对原有问题在知识层面或方法层面上加以拓展，使认识不断深入，并推广到更为一般的结论.

运用类比法的关键是寻找一个合适的类比对象，但是很多待解决的问题没有现成的类比物，这就需要我们通过观察、提炼，凭借结构上的相似性寻找类比对象，类比的基础是联想的发生，而联想的发生是以与问题相关的丰富的知识为基础的，高中阶段所学的基本上属于古典数学范畴，但是随着时代的进展，我们要改变对原有知识的认识方式.

例1　(1)函数f(x)对于任何x∈R+，恒有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)，若f(16)=4，求f(4)；

(2)定义在R+上的函数f(x)满足：①f(10)=1;②对任意实数b,f(xb)=bf(x).

❶求及满足f(k-1003)=lg1003的k值；

❷求证：对任意实数x，y<R+,f(xy)=f(x)+f(y);

❸求证：f(x)是R+上的增函数.

解题策略　第(1)问，从给出的抽象函数的条件着手进行类比，其形式正是对数函数具有的性质：loga(xy)=logax+logay(x，y∈R+)；第(2)问，由条件易知本题的模型函数为f(x)=lgx,则各小题的求解或证明思路豁然开朗，完全可以借助函数f(x)=lgx的特有性质进行求解或证明.

解：(1)类比对数函数的性质，若设f(x)=log2x,则满足f(16)=log216=4，因此，f(4)=log24=2.

(2)❶由题意可知本题的模型函数为f(x)=lgx,

∵f(k-1003)=f[10lg(k-1003)]=lg(k-1003)·f(10)=lg(k-1003)=lg1003,

∴k-1003=1003,解得k=2006.

❷证明　设x>0,y>0，当x≠1时,

f(xy)=f(x·xlogxy)=(1+logxy)·f(x)=f(x)+logxy·f(x)=f(x)+f(xlogxy)

=f(x)+f(y),当x=1时，f(y)=f(1)+f(y),而f(1)=0,也适合，

故当x>0,y>0时,f(xy)=f(x)+f(y).

❸证明　当x>1时，f(x)=f(10lgx)=lgx·f(10)=lgx>0.

设0<x1<x2，则即

由❷知

∴f(x)是R+上的增函数.

例2　(1)若函数f(x)(x∈R)满足：f(x+m)=f(x+m)f(x)+1+f(x)，且f(x)≠1，m是非零常数，问f(x)是否是周期函数？若是，求出它的一个周期，若不是，请说明理由.

(2)如图12-1所示，F1，F2是椭圆的两个焦点，P在椭圆上，若设∠F1PF2=θ，则△F1PF2的面积为相应地，如图12-2所示，F1，F2是双曲线的两个焦点，P在双曲线上，若设∠F1PF2=θ，则△F1PF2的面积S的表达式是什么？并对两个命题加以证明.

图12-1

图12-2

解题策略　类比推广通常有两种基本题型，一种是由所给的问题或关系式类比联想它的背景或原型，找到一种清晰简捷的解法，此类题要求学生具备一定的数学基础，以及猜想能力与模仿能力，比如第(1)问；另一种是两种相近知识之间的类比推广，比如第(2)问，椭圆焦点三角形的面积公式已经给出，可通过解三角形以及三角恒等变形加以证明，而双曲线与椭圆之间有差异也有联系，关键是寻找出“似曾相识”的因素，类比迁移，借石攻玉.

解：(1)联想到三角公式

不难得知其结构模型与类同，若视式中的m为时，则可把tanx看成是f(x)的一个原型实例，而y=tanx是周期为T=π的周期函数且是的4倍，由此可类比猜测f(x)是周期为4m的周期函数.

事实上，

故f(x)是周期为4m的周期函数.

(2)对于双曲线相应的∠F1PF2的面积表达式是两个命题证明如下：

由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a，由得

由余弦定理知=-2|PF1||PF2|cosθ

=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|(1+cosθ)，

即故

从而

相应地，由双曲线的定义，|PF1|-|PF2|=±2a,

由得

由余弦定理得=-2|PF1||PF2|cosθ(www.xing528.com)

=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1||PF2|(1-cosθ)，

即故

从而

例3　设P1(x1,y1)，P2(x2,y2)是函数图像上的两点，且

(1)若点P的横坐标为求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；

(2)若求Sn；

(3)记Tn为数列的前n项和，若对一切n∈N*都成立，试求a的取值范围.

解题策略　类比迁移的关键在于先弄清问题中给出的原命题的运算原理或结构，再在新的条件环境下类比出新命题，或依照高考命题的原则“源于课本，高于课本”，根据课本中介绍的数学方法推广出一些新的方法，如课本中用“逆序相加法”推导等差数列前n项和的方法可以迁移到本例第(1)问、第(2)问的解答中，第(3)问中需要运用“裂项相消法”，这也是课本中相关方法的类比推广.

解：(1)证明　由得P是P1P2的中点，从而x1+x2=1.

所以y1+y2

由此得

(2)由(1)知

两式相加得2Sn=

故

(3)

因为当且仅当n=4时，取“=”，所以得

例4　若椭圆和椭圆满足则称这两个椭圆相似，m称为其相似比.

(1)求经过点且与椭圆相似的椭圆方程；

(2)设过原点的一条射线l分别与(1)中的两个椭圆交于A，B两点(其中点A在线段OB上)，求|OA||OB|的最大值和最小值；

(3)对于真命题“过原点的一条射线分别与相似比为2的两个椭圆和交于A，B两点，P为线段AB上的一点，若|OA|，|OP|，|OB|成等比数列，则点P的轨迹方程为请用类比法提出类似的一个真命题，并给予证明.

解题策略　本题是一道新情景题，由比与比例以及两个相似三角形的相似比加以引申，给出椭圆相似比的概念，进而引出一个值得探究的问题，从而考查学生理解新概念的能力和掌握椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线关系、弦长、最值等基础知识以及基本解题技能，引发学生提出新问题、解决新问题，从而更深入地考查学生对函数与方程思想、类比推广思想掌握的深度与广度，是一道具有挑战性、开放性特点，且有助于开展研究性学习的题目.

解：(1)设与椭圆相似的椭圆方程为

则有解得所以所求的椭圆方程为

(2)当射线与y轴重合时，

当射线不与y轴重合时，由椭圆的对称性，我们仅考查A，B在第一象限的情形，设其方程为y=kx(k>0,x>0),设A(x1,y1)，B(x2,y2).

由得则同理得

所以

即4<|OA||OB|≤8.

综上所述，|OA||OB|的最大值为8，最小值为4.

(3)过原点的一条射线分别与两双曲线和交于A，B两点，P为线段AB上一点，若|OA|，|OP|，|OB|成等比数列，则点P的轨迹方程为

证明　因为射线l与双曲线有交点，不妨设其斜率为k，显然

设射线l的方程为y=kx,点A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(x,y).

由解得

由解得

由P点在射线l上，且=|OA||OB|得即

消去k即得点P的轨迹方程为