运用分类讨论法解概率问题的优化方法

在求古典概型的概率时，涉及“至多”“至少”型的问题，可以用互斥事件以及分类讨论的思想求解，当涉及的互斥事件多于两个时，一般用对立事件求解，分类讨论思想还应用于讨论随机变量的取值，进而求离散型随机变量的分布列和数学期望，求解的关键是审清题意，找准分类标准，做到不重不漏.

例1　袋中有3个伍分硬币，3个贰分硬币和4个壹分硬币，从中任取3个，求总分值超过8分的概率.

解题策略　本题考查学生掌握互斥事件有一个发生的概率的基本概念和基本原理，解题的关键是把“总分值超过8分”这一事件的各种情况罗列清楚.

解：“总分值超过8分”记为事件A，该事件包括下列4种情况：

❶“取到3个伍分硬币”记为A1；

❷“取到2个伍分硬币和1个贰分硬币”记为A2；

❸“取到2个伍分硬币和1个壹分硬币”记为A3；

❹“取到1个伍分硬币和2个贰分硬币”记为A4.

则

又A1，A2，A3，A4彼此两两互斥，故所求概率为

例2　某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在黄山、泰山、九寨沟这3个景区任选1个，假设各部门选择每个景区是等可能的.

(1)求3个景区都有部门选择的概率；

(2)求恰有2个景区有部门选择的概率.

解题策略　第(1)问，4个部门选择3个景区可能出现的结果数为34，由于是任意选择，这些结果出现是等可能的；第(2)问，可以运用对立事件的概率计算，也可以“正面出击”，运用分类讨论的思想方法.

解：(1)由题意，必有2个部门选择同一个景区，所以3个景区都有部门选择的可能结果为！.记此事件为A，则事件A发生的概率为

(2)记“恰有2个景区有部门选择”为事件B，“4个部门都选择1个景区”为事件C.

解法一　事件C的概率为

事件B的概率为

解法二　先从3个景区任意选定2个，共有种选法.

再让4个部门来选择2个景区，分两种情况：第一种情况，从4个部门中任取1个作为一组，另3个部门为一组，共2组，每组选择1个不同的景区，共有种不同选法；第二种情况，从4个部门中任选2个部门到1个景区，另外2个部门到另1个景区，共有种不同选法，故恰有2个景区有部门选择的可能结果数为！

例3　掷红、蓝两颗骰子，观察出现的点数，求至少有一颗骰子出现偶数点的概率.

解题策略　P(A+B)即事件A，B至少有一个发生的概率.

在A与B互斥时，P(A∪B)=P(A)+P(B).

在A与B相互独立时，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).

解：设事件A为“红骰子出现偶数点”，事件B为“蓝骰子出现偶数点”，事件C为“至少有一颗骰子出现偶数点”.显然，事件A与B不是互斥的，设事件D为“两颗骰子同时出现偶数点”，则D=A∩B.

掷两颗骰子出现点数总的结果是

“红骰子出现偶数点”的结果是(www.xing528.com)

“蓝骰子出现偶数点”的结果是

“两颗骰子都出现偶数点”的结果是

“至少有一颗骰子出现偶数点”的结果是

图11-8

例4　(2016年高考数学全国Ⅰ卷第19题)某公司计划购买2台机器，该种机器使用3年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元，现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在3年使用期更换的易损零件数，得到柱状图，如图11-8所示.

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，用X表示2台机器3年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.

(1)求X的分布列；

(2)若要求P(x≤n)≥0.5，确定n的最小值；

(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？

解题策略　第(1)问，由柱状图得频率，分别求出随机变量每个取值所对应的概率，进而可得分布列；第(2)问，由(1)即可求解n的最小值；第(3)问，分别求解n=19与n=20时购买易损零件所需费用的期望值，再比较选择哪一个较好.

解：(1)由柱状图并以频率代替概率可得，1台机器在三年内需更换的易损零件数8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而

P(X=16)=0.2×0.2=0.04,

P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16,

P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24,

P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24,

P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2,

P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08,

P(X=22)=0.2×0.2=0.04.

∴X的分布列为

(2)由(1)知P(X≤18)=0.44,P(X≤19)=0.68,故n的最小值为19.

(3)记y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元).

当n=19时，

Ey=19×200×0.68+(19×200+500)×0.2+(19×200+2×500)×0.08

+(19×20+3×500)×0.04=4040.

当n=20时，

Ey=20×200×0.88+(20×200+500)×0.08+(20×200+2×500)×0.04

=4080.

可知当n=19时所需费用的期望值小于当n=20时所需费用的期望值，故应选n=19.