分类与整合的思想方法的介绍

数学家笛卡尔指出：“把你所考虑的每一个问题，按照可能和需要，分成若干部分，使它们更易于求解.”即在遇到复杂问题难以统一处理时，可以把问题划分成有限多个子问题，然后再有针对性地逐一解决，最后把各个子问题的结论归纳起来，得到整个问题的结论，这就是分类与整合的思想方法，又称之为逻辑分类法.运用分类与整合思想方法的好处是就每一个子问题而言，原来问题中的某些不确定的因素变成了确定的因素，使问题的解决有了新的重要前提条件，从而使解题过程变得顺畅起来.

高中数学涉及逻辑分类法的题型以字母参数的讨论为主，但涉及讨论的内容与范围广泛得多，大致有以下6个方面:

(1)从问题涉及的数学概念、性质等进行分类与整合.

(2)从定理、公式、法则的适用范围进行分类与整合.

(3)从平面上点的位置或图形变化进行分类与整合.

(4)从参数的不同取值进行分类与整合，对含双参数问题，必须分级进行分类与整合.

(5)从解题过程中出现的不同情况进行分类与整合.

(6)结论是选择、判断的命题，按可能出现的情况进行分类与整合.

施行分类与整合的关键在于正确选择分类标准，对于同一问题的研究对象可以有不同的分类标准：可以按问题的解(结论不同)或题设条件不同而分类；可以按解决的特征来分类；可以按有关概念的特征(本身是分类定义的)分类；可以按图形的相对位置分类；可以按有关参数所满足的条件分类；可以按一些公式、法则、定理应用的范围分类……总之，要针对问题具体分析.

确定了分类标准，进行分类时还要遵循下列原则.(www.xing528.com)

(1)范围的确定性：在分类讨论前必须首先明确要进行分类的范围，如果范围不清，就会造成分类错误，导致在正确范围以外作出错误的讨论.

(2)划分的完整性：各分类的总和要正好等于被划分的全部对象，不能遗漏或超出.

(3)分类的互斥性：两个不同分类之间不应该有公共部分，即它们的交集为空集.

(4)划分的层次性：有些问题并不是一次分类就可以完全分析清楚的，而是需要逐级细分，不能越级进行划分，否则容易出现混乱.

(5)每次划分标准的同一性：每一次分类要用同一个确定的标准，分类标准在没有贯彻到底之前，不允许改变分类标准，即不能在同一次划分中用两个或两个以上标准进行分类，否则会引起混乱.

二分法是分类中常用的一种方法，它是把被分类的对象或涉及的范围按具有或不具有某个属性，分为互相矛盾的两类，运用二分法可以使解题过程显得简捷.

需要进行分类与整合讨论的问题，解题过程往往比较繁冗，这就促使我们去探究简化和避免分类讨论的技巧.

分类与整合思想解题的实质是“化整为零，各个击破，再积零为整”的思维策略，但同时还要注意充分挖掘求解问题中潜在的特殊性和简单性，尽可能消除“讨论因素”，灵活地采用相应的解题策略，适当作一点“技术处理”，简化或避免分类讨论，往往能给解题带来事半功倍之效.避免分类讨论常见的解题策略有：直接回避、消去参数、变更主元、巧用公式、整体考虑、反客为主、正难则反、数形结合等.