逆向化归解题法的优化策略

人们在处理问题时，常常按照习惯的思维途径去进行思考，运用习惯的化归方式方法去转化解决问题，但按照这种思考方式或化归方式在很多时候也会出现较繁或较难入手的情形，或出现一些逻辑上的困惑，这时，从辩证思维的观念出发，从问题或其中的某个方面的另一面入手进行思考，例如针对常规处理方法，针对问题条件、结论、求解程序、推理步骤进行逆向化归，采取顺繁则逆、正难则反的适时化归措施，这就是所谓的逆向化归思想，逆向化归的形式，常有升格(升维、升次、增项、增元、扩域等)，倒推、反求、反证、举反例等.

例1　已知sin3α+cos3α=1，求sinα+cosα的值.

解题策略　若直接从条件出发通过变形求sinα+cosα的值，其运算肯定繁杂，顺繁则逆，如果从sinα+cosα这个所求式出发却易得sin3α+cos3α，故逆向化归求解本题较为方便.

解：设sinα+cosα=k，两边平方，得：

由已知条件可得sin3α+cos3α=(sinα+cosα)(sin2α-sinαcosα+cos2α)=1.

代换后得即k3-3k+2=0，亦即(k3-1)-3(k-1)=0，

亦即(k-1)(k2+k-2)=0，∴(k-1)2(k+2)=0，解得k=1或k=-2(不合题意，舍去).故知sinα+cosα=1.

例2　解方程：

解题策略　若直接解此无理方程，运算量相当大，由根式联想到两点间的距离并通过升维化归为一个动点到两个定点距离之差，进而联想到双曲线方程，这是一种妙思巧解.

解：原方程可化为令1=y2，得：

上式表示动点P(x，y)到F1(-5，0)，F2(5，0)的距离之差为6的点的轨迹.

显然是双曲线的左支，其标准方程为:

当y2=1时，故原方程的解为

例3　若a3+b3=2，求证：a+b≤2.

解题策略　不论是综合法还是分析法证明此题都很困难，运用反证法即假设结论a+b≤2的反面即a+b>2成立，结合条件a3+b3=2推出与假设矛盾，反证法也是逆向化归解题法的一种.(www.xing528.com)

证明　假设

而取等号的条件为a=b=0，显然不可能，所以a2-ab+b2>0.

则a3+b3=(a+b)·(a2-ab+b2)>2(a2-ab+b2)，而a3+b3=2，故a2-ab+b2<1.

所以1+ab>a2+b2≥2ab，从而ab<1，所以a2+b2<1+ab<2.

所以(a+b)2=a2+b2+2ab<2+2ab<4，所以a+b<2.

这与假设矛盾，故a+b≤2.

例4　已知集合A={x|lg(x2-2ax+a2+1)<lg2}，B={x|(2x-a)(x-4)>0}，

若A∩B≠∅，求实数a的取值范围.

解题策略　易求得集合A={x|a-1<x<a+1}，而集合B中对应方程(2x-a)·(x-4)=0的两个根为和4.若要确定集合B，则需要对a的取值分类讨论，同时为使

A∩B≠∅成立，还要对或4与a-1或a+1的大小关系进行分类讨论.两重讨论甚为烦琐，按照正难则反的解题原则，从A∩B≠∅的反面A∩B=∅方向去思考，适时采取逆向化归措施，正如德国数学家雅可比(C.G.J.Jacobi，1804—1851)所言，“运用逆向思维，要经常反向思考问题”，常常可找到简捷的解法.

解：易得A={x|a-1<x<a+1}，设函数f(x)=(2x-a)(x-4).

当A∩B=∅时，由于抛物线开口向上，则

解得2≤a≤3.

故要使A∩B≠∅，只须a<2或a>3.