相等与不等的转化与变换的优化策略

相等与不等是数学中两个重要的关系，在某种情况下它们可以相互转化，把不等问题转化成相等问题，如利用基本不等式、柯西不等式、三角不等式中等号成立的充要条件导出相等.又如用两边夹逼导出相等，即由A≥B和A≤B导出A=B.把不等问题转化为相等问题，即“不等导等”，综合性强，技巧性高，可以减少运算量，提高正确率；把相等问题转化为不等问题，即“等导不等”，能突破难点找到解题的突破口.

例1　(1)若f(x)是定义在R上的函数，对任意实数x，都有f(x+3)≤f(x)+3和f(x+2)≥f(x)+2，且f(1)=1，则f(2019)=________；

(2)已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1，且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5，f(x+1)≤f(x)+1，若g(x)=f(x)-x+1，求g(2019)的值.

解题策略　第(1)问，从已知的“不等”信息中通过两边夹逼的手段实现不等到相等的过渡，即“不等导等”的解题策略；第(2)问同样可采用“不等导等”策略，但还需进一步探究函数g(x)的周期性，从而求得g(2019)的值.

解：(1)由f(x+3)≤f(x)+3和f(x+2)≥f(x)+2得f(x+3)≤f(x+2)+1，

故f(2019)≤f(2018)+1≤f(2017)+2≤…≤f(1)+2018=2019　　①

由f(x+2)≥f(x)+2知

f(2019)≥f(2017)+2≥f(2015)+4≥…≥f(1)+2018=2019　　②

由①②得2019≤f(2019)≤2019，∴f(2019)=2019.

(2)由已知可得f(x+5)≥f(x)+5⟺f(x+5)-(x+5)+1≥f(x)-x+1⟺g(x+5)≥g(x).　　①

f(x+1)≤f(x)+1⟺f(x+1)-(x+1)+1≤f(x)-x+1⟺g(x+1)≤g(x)　②

依据②可得g(x+5)≤g(x+4)≤g(x+3)≤g(x+2)≤g(x+1)≤g(x)　③

由上述①②及③可得g(x+5)=g(x+4)=g(x+3)=g(x+2)=g(x+1)=g(x)函数g(x)的周期T=k(k∈N*).

故有g(2019)=g(1)=f(1)=1.

例2　(1)若a，b满足关系求a2+b2；

(2)设实数x，y，z满足x+2y+3z=6，求x2+y2+z2的最小值.

解题策略　本例两小题给出的条件都是一个等式，要求一个代数式的值或最小值，按照条件的结构特点，运用柯西不等式，即由“等导不等”或“等导不等、不等导等相结合”获得问题的解.

解：(1)由柯西不等式得

当且仅当即a2+b2=1时取“=”，∴a2+b2=1.

(2)由柯西不等式得

即x2+y2+z2的最小值为

例3　(1)△ABC中，a，b，c分别表示∠A，∠B，∠C的对边，

求证：a2+b2+c2<2ab+2bc+2ca；

(2)已知a，b为非负数，M=a4+b4，a+b=1，求M的最值.

解题策略　第(1)问，从余弦定理变形出发，结合三角形内角对余弦值进行“放大”，即可由等导出不等.第(2)问，可直接根据已知不等式a2+b2≥2ab一步步地进行推导，又观察到a，b的对称性，可进行均值代换，将M写成关于t的函数，从而转变成求函数最值的基本问题；也可针对a，b为非负数，a+b=1，可联想到三角函数sin2θ+cos2θ=1这一性质，转变为三角函数最值问题；还可由a+b=1这个等式结合均值代换法或基本不等式法或三角换元法导出不等，求得M的最值.

解：(1)证明　由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，b2=c2+a2-2cacosB，c2=a2+b2-2abcosC，

三式相加得a2+b2+c2=2abcosC+2bccosA+2cacosB.

注意到cosA<1，cosB<1，cosC<1，即得

a2+b2+c2<2ab+2bc+2ca.(www.xing528.com)

(2)解法一　(均值代换法)根据a，b的对称性，采用均值代换，可令

则

易得

解法二　(基本不等式法)∵a≥0，b≥0，∴a2+b2≥2ab，∴2(a2+b2)≥(a+b)2.

当且仅当时取“=”，

又∵0≤a≤1，0≤b≤1，∴a4≤a，b4≤b，∴a4+b4≤a+b=1.

当且仅当a，b之一为0时取“=”.

综上，

解法三　(三角换元法)∵0≤a≤1，0≤b≤1，a+b=1，

令

∴M=cos8θ+sin8θ=(sin4θ+cos4θ)2-2sin4θcos4θ

=[(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ]2-2sin4θcos4θ

例4　(1)设x，y为正数，x+y=1，证明

(2)x，y>0，x+y=1，求证：对于任意正整数

解题策略　对于x+y=1这样的等式可导出不等关系，除了想到常用的基本不等式外，还应注意“1”的妙用：乘以“1”或除以“1”，表达式的值均不变，这样往往可以把原表达式表示成更明显且更有特征的表达式导出不等，条件x+y=1还可联想到均值换元法.第(2)问又是关于正整数n的命题，二项展开式并进行“放缩”、数学归纳法证明都是应当首先想到的证法.

(1)证明　∵x>0，y>0，x+y=1，

当且仅当时取“=”.

当且仅当时取“=”.

当且仅当时取“=”.

(2)证法一　根据x，y的对称性，不妨设x≥y，再令

则

当且仅当n=2时取“=”.

证法二　(数学归纳法)当n=1时，命题显然成立.

假设当n=k时，命题成立，即

当n=k+1时，右边即只需证明

∵x+y=1，∴只需证2(xk+1+yk+1)≥(x+y)(xk+yk)，即(x-y)(xk-yk)≥0，

由题意知(x-y)与(xk-yk)必同号或均为零，

综上，原不等式得证.